Дифференциальная теория Галуа
Дифференциальная теория Галуа — раздел математики, который изучает группы Галуа дифференциальных уравнений.
Предпосылки и основная идея
В 1830-х годах Лиувилль создал теорию интегрирования в элементарных функциях, важным достижением которой было доказательство невозможности взятия в элементарных функциях интегралов от таких функций, как
f ( x ) = e − x 2 , {displaystyle f(x)=e^{-x^{2}},} f ( x ) = sin x x , {displaystyle f(x)={frac {sin x}{x}},} f ( x ) = x x , {displaystyle f(x)=x^{x},}Нужно иметь в виду, что понятие элементарной функции — всего лишь соглашение. Если добавить функцию ошибок к классу элементарных функций, то первообразная от функции f ( x ) = e − x 2 {displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}} станет элементарной. Тем не менее, можно бесконечно расширять таким образом класс элементарных функций, но всегда будут оставаться функции, первообразные которых не относятся к элементарным.
Обобщение его идей, предпринятое в начале XX века, и привело к созданию дифференциальной теории Галуа, которая, в частности, позволяет выяснить, имеет ли функция первообразную, которая выражается через элементарные функции. Дифференциальная теория Галуа основана на теории Галуа. Алгебраическая теория Галуа исследует расширения алгебраических полей, а дифференциальная теория Галуа — расширения дифференциальных полей, то есть полей, для которых введено дифференцирование, D {displaystyle {mathcal {D}}} . В дифференциальной теории Галуа много похожего на алгебраическую теорию Галуа. Существенное различие этих построений состоит в том, что в дифференциальной теории Галуа используются матричные группы Ли, а в алгебраической теории Галуа — конечные группы.
Определения
Для любого дифференцируемого поля F {displaystyle F} есть подполе
Con F = { f ∈ F ∣ D f = 0 } , {displaystyle operatorname {Con} F={fin Fmid {mathcal {D}}f=0},}которое называется полем констант F {displaystyle F} . Для двух дифференциальных полей F {displaystyle F} и G {displaystyle G} поле G {displaystyle G} называется логарифмическим расширением F {displaystyle F} , если G {displaystyle G} является простым трансцендентным расширением F {displaystyle F} (то есть G = F ( t ) {displaystyle G=F(t)} для некоторого трансцендентного t {displaystyle t} ), так что
D t = D s s {displaystyle {mathcal {D}}t={frac {{mathcal {D}}s}{s}}} для некоторого s ∈ F {displaystyle sin F} .Это разновидность логарифмической производной. Для интуитивного понимания можно представить себе t {displaystyle t} как логарифм некоторого s {displaystyle s} из F {displaystyle F} , и тогда это условие аналогично правилу взятия производной сложной функции. При этом нужно иметь в виду, что логарифм, содержащийся в F {displaystyle F} , не обязательно единственный; с ним могут соседствовать несколько различных «логарифмообразных» расширений F {displaystyle F} . Аналогично, экспоненциальным расширением называется трансцендентное расширение, которое удовлетворяет формуле
D t = t D s . {displaystyle {mathcal {D}}t=t{mathcal {D}}s.}Таким образом можно представить себе этот элемент как экспоненту от s {displaystyle s} из F {displaystyle F} . Наконец, G {displaystyle G} называется элементарным дифференциальным расширением F {displaystyle F} , если имеется конечная цепочка подполей от F {displaystyle F} до G {displaystyle G} , где каждое расширение является алгебраическим, логарифмическим или экспоненциальным.
Примеры
Поле C ( x ) {displaystyle mathbb {C} (x)} рациональных функций одной переменной с дифференцированием по этой переменной. Константами этого поля являются комплексные числа C {displaystyle mathbb {C} } .
Основная теорема
Предположим, что F {displaystyle F} и G {displaystyle G} — дифференциальные поля, для которых Con F = Con G {displaystyle operatorname {Con} F=operatorname {Con} G} , и G {displaystyle G} является элементарным дифференциальным расширением F {displaystyle F} . Пусть a ∈ F {displaystyle ain F} , y ∈ G {displaystyle yin G} и, кроме того, D y = a {displaystyle {mathcal {D}}y=a} (то есть, G {displaystyle G} содержит первообразную a {displaystyle a} ). Тогда существуют c 1 , … , c n ∈ Con F {displaystyle c_{1},dots ,c_{n}in operatorname {Con} F} , u 1 , … , u n , v ∈ F {displaystyle u_{1},dots ,u_{n},vin F} такие, что
a = c 1 D u 1 u 1 + ⋯ + c n D u n u n + D v . {displaystyle a=c_{1}{frac {{mathcal {D}}u_{1}}{u_{1}}}+dots +c_{n}{frac {{mathcal {D}}u_{n}}{u_{n}}}+{mathcal {D}}v.}Другими словами, «элементарная первообразная» есть только у тех функций, которые имеют вид, указанный в теореме. Таким образом, теорема утверждает, что только элементарные первообразные являются «простыми» функциями, плюс конечное число логарифмов простых функций.
Добавить комментарий!