Абелева группа

Абелева (или коммутативная) группа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа ( G , ∗ ) {displaystyle (G,;*)} абелева, если a ∗ b = b ∗ a {displaystyle a*b=b*a} для любых двух элементов a , b ∈ G {displaystyle a,;bin G} .

Обычно для обозначения групповой операции в абелевой группе используется аддитивная запись, то есть групповая операция обозначается знаком + {displaystyle +} и называется сложением.

Название дано в честь норвежского математика Нильса Абеля.

Примеры

• Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
• Любая циклическая группа G = ⟨ a ⟩ {displaystyle G=langle a angle } абелева. Действительно, для любых x = a n {displaystyle x=a^{n}} и y = a m {displaystyle y=a^{m}} верно, что x y = a m a n = a m + n = a n a m = y x {displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx} .
  • В частности, множество Z {displaystyle mathbb {Z} } целых чисел есть коммутативная группа по сложению; это же верно и для классов вычетов Z / n Z . {displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} ,.}
• Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению; примером может служить поле R {displaystyle mathbb {R} } вещественных чисел с операцией сложения чисел.
• Обратимые элементы коммутативного кольца (в частности, ненулевые элементы любого поля) образуют абелеву группу по умножению. Например, абелевой группой является множество ненулевых вещественных чисел с операцией умножения.

Связанные определения

• По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность векторного пространства над полем Q {displaystyle mathbb {Q} } рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

Свойства

• Конечно порождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
  • Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
• Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть n {displaystyle n} — натуральное число, а x {displaystyle x} — элемент коммутативной группы G {displaystyle G} с операцией, обозначаемой +, тогда n x {displaystyle nx} можно определить как x + x + … + x {displaystyle x+x+ldots +x} ( n {displaystyle n} раз) и ( − n ) x = − ( n x ) {displaystyle (-n)x=-(nx)} .
  • Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над областью главных идеалов Z {displaystyle mathbb {Z} } ), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольной областью главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорождённых абелевых групп, которую можно обобщить до классификации произвольных конечнопорождённых модулей над областью главных идеалов.
• Множество гомоморфизмов Hom ⁡ ( G , H ) {displaystyle operatorname {Hom} (G,;H)} всех групповых гомоморфизмов из G {displaystyle G} в H {displaystyle H} само является абелевой группой. Действительно, пусть f , g : G → H {displaystyle f,;g:G o H} — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма f + g {displaystyle f+g} , заданная как ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) {displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)} , тоже является гомоморфизмом (это неверно, если H {displaystyle H} не является коммутативной группой).
• Понятие абелевости тесно связано с понятием центра Z ( G ) {displaystyle Z(G)} группы G {displaystyle G} — множества, состоящего из тех её элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы G {displaystyle G} , и играющего роль своеобразной «меры абелевости». Группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.

Конечные абелевы группы

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. Z m n {displaystyle mathbb {Z} _{mn}} изоморфно прямой сумме Z m {displaystyle mathbb {Z} _{m}} и Z n {displaystyle mathbb {Z} _{n}} тогда и только тогда, когда m {displaystyle m} и n {displaystyle n} взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу G {displaystyle G} в форме прямой суммы

Z k 1 ⊕ … ⊕ Z k u {displaystyle mathbb {Z} _{k_{1}}oplus ldots oplus mathbb {Z} _{k_{u}}}

двумя различными способами:

• Где числа k 1 , … , k u {displaystyle k_{1},;ldots ,;k_{u}} степени простых
• Где k 1 {displaystyle k_{1}} делит k 2 {displaystyle k_{2}} , которое делит k 3 {displaystyle k_{3}} , и так далее до k u {displaystyle k_{u}} .

Например, Z / 15 Z = Z 15 {displaystyle mathbb {Z} /15mathbb {Z} =mathbb {Z} _{15}} может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: Z / 15 Z = { 0 , 5 , 10 } ⊕ { 0 , 3 , 6 , 9 , 12 } {displaystyle mathbb {Z} /15mathbb {Z} ={0,;5,;10}oplus {0,;3,;6,;9,;12}} . То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать; в результате приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Вариации и обобщения

• Дифференциальной группой называется абелева группа C {displaystyle mathbf {C} } , в которой задан такой эндоморфизм d : C → C {displaystyle dcolon mathbf {C} o mathbf {C} } , что d 2 = 0 {displaystyle d^{2}=0} . Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра ker d {displaystyle ker ,d} — циклами, элементы образа I m d {displaystyle mathrm {Im} ,d} — границами.
• Кольцо — абелева группа, на которой задана дополнительная бинарная операция «умножения», удовлетворяющая аксиомам дистрибутивности.
• Метабелева группа — группа, коммутант которой абелев.
• Нильпотентная группа — группа, центральный ряд которой конечен.
• Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой стабилизируется на тривиальной группе.
• Дедекиндова группа — группа, всякая подгруппа которой нормальна.