Абелева категория


Абелева категория — категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Теория абелевых категорий была разработана Александром Гротендиком для объединения нескольких теорий когомологий. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов из малой категории в абелеву также являются абелевыми.

Определение

Предаддитивная категория является абелевой, если:

  • в ней существует нулевой объект,
  • существуют все бинарные произведения и копроизведения,
  • существуют все ядра и коядра,
  • все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.

Это определение эквивалентно следующему определению «по частям»: предаддитивная категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.

Важно, что наличие структуры абелевых групп на множествах морфизмов является следствием четырёх свойств из первого определения. Это подчёркивает фундаментальную роль категории абелевых групп в данной теории.

Примеры

  • Категория абелевых групп является абелевой. Категория конечнопорождённых абелевых групп также абелева, как и категория конечных абелевых групп.
  • Если R {displaystyle R} — кольцо, то категория левых (или правых) модулей над R {displaystyle R} абелева. Согласно теореме Фрейда — Митчелла о вложении, любая абелева категория эквивалентна полной подкатегории категории модулей.
  • Если R {displaystyle R} — кольцо, нётеровое слева, то категория конечнопорождённых левых R {displaystyle R} -модулей является абелевой. В частности, категория конечнопорождённых модулей над нётеровым коммутативным кольцом абелева.
  • Если X {displaystyle X} — топологическое пространство, то категория пучков абелевых групп на X {displaystyle X} абелева.

Аксиомы Гротендика

В статье Sur quelques points d’algèbre homologique Гротендик предложил несколько дополнительных аксиом, которые могут выполняться в абелевой категории A {displaystyle {mathcal {A}}} .

  • AB3) Для любого множества объектов ( A i ) i ∈ I {displaystyle (A_{i})_{iin I}} категории A {displaystyle {mathcal {A}}} существует копроизведение ⊕ A i {displaystyle oplus A_{i}} . Данная аксиома эквивалентна кополноте абелевой категории A {displaystyle {mathcal {A}}} .
  • AB4) A {displaystyle {mathcal {A}}} удовлетворяет аксиоме AB3) и копроизведение любого семейства мономорфизмов является мономорфизмом (то есть копроизведение является точным функтором).
  • AB5) A {displaystyle {mathcal {A}}} удовлетворяет аксиоме AB3) и фильтрованные копределы точных последовательностей точны. Эквивалентно, для любой решётки ( A i ) i ∈ I {displaystyle (A_{i})_{iin I}} подобъектов объекта A {displaystyle A} и любого B {displaystyle B} — подобъекта объекта A {displaystyle A} верно, что ∑ ( A i ∩ B ) = ∑ ( A i ) ∩ B . {displaystyle sum (A_{i}cap B)=sum (A_{i})cap B.}

Аксиомы AB3*), AB4*) и AB5*) получаются из приведённых выше аксиом как двойственные им (то есть заменой копределов на пределы). Аксиомы AB1) и AB2) - стандартные аксиомы, которые выполняются в любой абелевой категории (более точно, абелева категория определяется как аддитивная категория, удовлетворяющая этим аксиомам):

  • AB1) У любого морфизма существует ядро и коядро.
  • AB2) Для любого морфизма f : A → B {displaystyle f:A o B} канонический морфизм из c o i m f {displaystyle mathrm {coim} f} в i m f {displaystyle mathrm {im} f} является изоморфизмом. (Здесь c o i m f = A / k e r f {displaystyle mathrm {coim} f=A/mathrm {ker} f} ).

Гротендик также формулирует более сильные аксиомы AB6) и AB6*), однако не использует их в этой работе.

История

Понятие абелевой категории было предложено Буксбаумом в 1955 году (он использовал название «точная категория») и Гротендиком в 1957 году. В то время существовала теория когомологий пучков на алгебраических многообразиях и теория когомологий групп. Эти теории определялись различно, но имели сходные свойства. Гротендику удалось объединить эти теории; обе они могут быть определены при помощи производных функторов на абелевой категории пучков и абелевой категории модулей соответственно.


Похожие новости:

Нулевой морфизм

Нулевой морфизм
В теории категорий нулевой морфизм — это морфизм, обобщающий свойства линейных отображений в ноль. Определение Пусть C — категория, и f : X → Y — морфизм в C. f называется постоянным морфизмом, если

Эквивалентность категорий

Эквивалентность категорий
Эквивалентность категорий в теории категорий — отношение между категориями, показывающее, что две категории «по существу одинаковы». Установление эквивалентности свидетельствует о глубокой связи

Абелева группа

Абелева группа
Абелева (или коммутативная) группа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа ( G , ∗

Расчет категории помещений по пожарной опасности

Расчет категории помещений по пожарной опасности
Расчет категории пожарной опасности помещений является регламентированной законом процедурой.
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные статьи
Выбор обоев для комнаты: как создать идеальный интерьер с помощью стильных настенных покрытий
Выбор обоев для комнаты: как создать идеальный интерьер с помощью стильных настенных покрытий
При создании уютного и стильного интерьера одной из ключевых ролей играют обои....
Металлокассеты для фасада: современные технологии в архитектурном дизайне
Металлокассеты для фасада: современные технологии в архитектурном дизайне
Современная архитектура постоянно ищет новые способы обеспечить эстетику, функциональность и...
Одноразовая упаковка: новый взгляд на привычные задачи
Одноразовая упаковка: новый взгляд на привычные задачи
В современном мире, где экологические проблемы становятся все более острыми, вопрос упаковки...
Все новости