14.08.2023

Алгебраическое дополнение


Алгебраическим дополнением элемента   a i j {displaystyle a_{ij}} матрицы   A {displaystyle A} называется число

  A i j = ( − 1 ) i + j M i j {displaystyle A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}} ,

где   M i j {displaystyle M_{ij}} — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы   A {displaystyle A} путём вычёркивания i-й строки и j-го столбца.

Свойства

Алгебраическое дополнение элемента — это коэффициент, с которым этот самый элемент входит в определитель матрицы. Это утверждается следующей теоремой:

Теорема (о разложении определителя по строке/столбцу). Определитель матрицы A {displaystyle A} может быть представлен в виде суммы

det A = ∑ j = 1 n a i j A i j = ∑ i = 1 n a i j A i j {displaystyle det A=sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}}

Для алгебраического дополнения справедливо следующее утверждение:

Лемма о фальшивом разложении определителя. Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (соответственно столбца) равна нулю, то есть   ∑ j = 1 n a i 1 j A i 2 j = ∑ i = 1 n a i j 1 A i j 2 = 0 {displaystyle sum _{j=1}^{n}a_{i_{1}j}A_{i_{2}j}=sum _{i=1}^{n}a_{ij_{1}}A_{ij_{2}}=0} при i 1 ≠ i 2 {displaystyle i_{1} eq i_{2}} и j 1 ≠ j 2 {displaystyle j_{1} eq j_{2}} .

Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы:

  • заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,
  • транспонировать полученную матрицу — в результате будет получена союзная матрица,
  • разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.

Похожие новости:

Вариационный ряд

Вариационный ряд
Вариационный ряд (упорядоченная выборка) — последовательность X ( 1 ) ⩽

Регулярная матрица Адамара

Регулярная матрица Адамара
Регулярная матрица Адамара — это матрица Адамара, у которой суммы по строкам и столбцам равны. В то время как порядок матрицы Адамара должен быть 1, 2 или кратен 4, регулярные матрицы Адамара

Теорема Безу

Теорема Безу
Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена P ( x ) {displaystyle P(x)} на двучлен (

Матрица Кирхгофа

Матрица Кирхгофа
Матрица Кирхгофа — одно из представлений конечного графа с помощью матрицы. Матрица Кирхгофа представляет дискретный оператор Лапласа для графа. Она используется для подсчета остовных деревьев
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Зачем нужны сварочные электроды
Зачем нужны сварочные электроды
Сварочные электроды — это важнейший инструмент в арсенале современной металлообработки. Они...
Услуга доработки веб-сайта – зачем это нужно
Услуга доработки веб-сайта – зачем это нужно
Сайты интегрируют инструменты аналитики, которые позволяют отслеживать посещаемость, поведение...
Чудеса чугунных ванн: история и преимущества
Чудеса чугунных ванн: история и преимущества
Чугунные ванны - это не только классический элемент в ванной комнате, но и символ долговечности и...
Все новости