Принцип Герца

Принцип Герца, также известный как принцип наименьшей кривизны или принцип прямейшего пути — один из вариационных принципов механики, который гласит, что при отсутствии любых активных сил (потенциальной энергии) из всех кинематически возможных (т.е. допускаемых связями) траекторий действительной будет только та, у которой наименьшая кривизна. Применялся Герцем для построения механики, в которой действие активных сил заменялось введением соответствующих связей. Впервые предложен в 1894 году.

Принцип Герца часто рассматривается как частный случай гауссовского принципа наименьшего принуждения, частный случай принципа Мопертюи в трактовке Якоби и обобщение закона инерции. Связь с принципом Гаусса обусловлена пропорциональностью принуждения квадрату кривизны. При идеальных связях принцип Герца и принцип Гаусса имеют одинаковое математическое выражение.

Кривой Гаусса-Герца на пути x (t) = xα (t) в римановом пространстве Rn × l2, δij + δαβ являются минимальные квадраты Лагранжа (сумма серий функций, равномерное схождение).

Математическое выражение

В принципе Герца функция Z математически выражается следующим образом:

Z = ∑ j = 1 n | r ¨ j | 2 {displaystyle Z=sum _{j=1}^{n}left|{ddot {mathbf {r} }}_{j} ight|^{2}}

Кинетическая энергия T T сохраняется при этимх условиях:

T   = d e f   1 2 ∑ j = 1 n | r ˙ j | 2 {displaystyle T {stackrel {mathrm {def} }{=}} {frac {1}{2}}sum _{j=1}^{n}left|{dot {mathbf {r} }}_{j} ight|^{2}}

Поскольку линейный элемент d s 2 {displaystyle ds^{2}} в 3 N 3N -мерной системе координат определяется по формуле

d s 2   = d e f   ∑ j = 1 n | d r j | 2 {displaystyle ds^{2} {stackrel {mathrm {def} }{=}} sum _{j=1}^{n}left|dmathbf {r} _{j} ight|^{2}} ,

то закон сохранения энергии может также иметь форму

( d s d t ) 2 = 2 T {displaystyle left({frac {ds}{dt}} ight)^{2}=2T}

При делении Z Z на 2 T {displaystyle 2T} появляется ещё один минимум:

K   = d e f   ∑ j = 1 n | d 2 r j d s 2 | 2 {displaystyle K {stackrel {mathrm {def} }{=}} sum _{j=1}^{n}left|{frac {d^{2}mathbf {r} _{j}}{ds^{2}}} ight|^{2}}

Поскольку K {displaystyle {sqrt {K}}} — локальная кривизна траектории в 3 n 3n -мерной системе координат, минимизация K K равноценна поиску траектории с минимальной кривизной (геодезической).