Вариационный ряд

Вариационный ряд (упорядоченная выборка) — последовательность X ( 1 ) ⩽ X ( 2 ) ⩽ ⋯ ⩽ X ( n − 1 ) ⩽ X ( n ) {displaystyle X_{(1)}leqslant X_{(2)}leqslant cdots leqslant X_{(n-1)}leqslant X_{(n)}} , полученная в результате расположения в порядке неубывания исходной последовательности независимых одинаково распределённых случайных величин X 1 , … , X n {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}} . Вариационный ряд и его члены представляют собой так называемые порядковые статистики, и используются в математической статистике как основа непараметрических методов. По функции распределения F ( x ) {displaystyle F(x)} исходных случайных величин вычисляются распределения любого члена вариационного ряда и совместные распределения его членов.

Вариационный ряд служит для построения функции эмпирического распределения F ^ ( x ) = μ ( x ) / n {displaystyle {hat {F}}(x)=mu (x)/n} , где μ ( x ) {displaystyle mu (x)} — число членов вариационного ряда меньших x {displaystyle x} , которая является оценкой функции распределения F ( x ) {displaystyle F(x)} случайных величин X 1 , … , X n {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}} . Согласно теореме Гливенко — Кантелли эта фундаментальная непараметрическая статистика сходится к функции распределения почти наверное.

Величина X ( k ) {displaystyle X_{(k)}} называется k-й порядковой статистикой.

Крайние члены X ( 1 ) {displaystyle X_{(1)}} и X ( n ) {displaystyle X_{(n)}} называются экстремальными значениями вариационного ряда.

Промежуток ( X ( 1 ) , X ( n ) ) {displaystyle (X_{(1)},X_{(n)})} между крайними членами вариационного ряда называется интервалом варьирования, его длина W n = X ( n ) − X ( 1 ) {displaystyle W_{n}=X_{(n)}-X_{(1)}} называется размахом выборки.

Величина X ( m + 1 ) {displaystyle X_{(m+1)}} при нечётном n = 2 m + 1 {displaystyle n=2m+1} или величина ( X ( m + 1 ) + X ( m ) ) / 2 {displaystyle (X_{(m+1)}+X_{(m)})/2} при чётном n = 2 m {displaystyle n=2m} называется выборочной медианой и служит оценкой медианы распределения.