Линейная частотная модуляция

Линейная частотная модуляция (ЛЧМ) сигнала — это вид частотной модуляции, при которой частота несущего сигнала изменяется по линейному закону.

Математическое описание

Во временной области

Изменение частоты f ( t ) {displaystyle f(t)} внутри импульсов с ЛЧМ происходит по линейному закону:

f ( t ) = f 0 + b ⋅ t , − T c 2 ⩽ t ⩽ T c 2 , {displaystyle f(t)=f_{0}+bcdot t,quad -{frac {T_{ ext{c}}}{2}}leqslant tleqslant {frac {T_{ ext{c}}}{2}},}

где f 0 {displaystyle f_{0}} - начальная частота сигнала; b = ( F max − f 0 ) / T c {displaystyle b=(F_{ ext{max}}-f_{0})/T_{ ext{c}}} ; T c {displaystyle T_{ ext{c}}} — длительность сигнала; F max {displaystyle F_{ ext{max}}} — максимальное значение частоты радиосигнала.

Фаза сигнала с ЛЧМ определяется как

φ ( t ) = 2 π ∫ 0 t f ( t ) d t = 2 π ( f 0 t + b 2 t 2 ) . {displaystyle varphi (t)=2pi int limits _{0}^{t}f(t),dt=2pi left(f_{0}t+{frac {b}{2}}t^{2} ight).}

Тогда ЛЧМ сигнал может быть описан выражением

s LFM ( t ) = S 0 cos ⁡ { φ 0 + φ ( t ) } = S 0 cos ⁡ { φ 0 + 2 π ( f 0 t + b 2 t 2 ) } , {displaystyle s_{ ext{LFM}}(t)=S_{0}cos{varphi _{0}+varphi (t)}=S_{0}cos left{varphi _{0}+2pi left(f_{0}t+{frac {b}{2}}t^{2} ight) ight},}

или в комплексном виде

s LFM ( t ) = S 0 e j { φ 0 + 2 π ( f 0 t + b 2 t 2 ) } , {displaystyle s_{ ext{LFM}}}(t)=S_{0}e^{jleft{varphi _{0}+2pi left(f_{0}t+{frac {b}{2}}t^{2} ight) ight},}

где S 0 {displaystyle S_{0}} — амплитуда сигнала; j {displaystyle j} — мнимая единица; φ 0 {displaystyle varphi _{0}} — начальная фаза.

В частотной области

Спектр ЛЧМ описывается так:

{ S ( ω ) = { A 0 2 T c Δ F m , | ω − ω 0 | ⩽ Ω M 2 0 , | ω − ω 0 | > Ω M 2 φ ( ω ) = { π 4 − ( ω − ω 0 ) 2 2 Δ Ω M T c , | ω − ω 0 | ⩽ Ω M 2 0 , | ω − ω 0 | > Ω M 2 {displaystyle {egin{cases}S(omega )={egin{cases}{frac {A_{0}}{2}}{sqrt {frac {T_{c}}{Delta F_{m}}}},&left|omega -omega _{0} ight|leqslant {frac {Omega _{M}}{2}},&left|omega -omega _{0} ight|>{frac {Omega _{M}}{2}}end{cases}}varphi (omega )={egin{cases}{ frac {pi }{4}}-{frac {(omega -omega _{0})^{2}}{2Delta Omega _{M}}}T_{c},&left|omega -omega _{0} ight|leqslant {frac {Omega _{M}}{2}},&left|omega -omega _{0} ight|>{frac {Omega _{M}}{2}}end{cases}}end{cases}}}

Обработка

В обработке ЛЧМ сигналов чирплет-преобразование — это скалярное произведение входного сигнала с семейством элементарных математических функций, именуемых чирплетами.

Генерация

• С помощью ГУН при подаче пилообразного напряжения на его управляющий вход. При этом нужно помнить, что обычно ГУНы имеют нелинейную зависимость выходной частоты от управляющего напряжения.
• С помощью специализированных блоков ГКЧ — генераторы качающейся частоты.
• Методом непосредственного цифрового синтеза (англ. DDS, direct digital synthesis), который можно реализовать, например:
  • с помощью микросхемы AD9910;
  • с помощью микросхемы 1508ПЛ8Т Архивная копия от 24 февраля 2009 на Wayback Machine:

Предусмотрена возможность работы микросхем совместно с внешними схемами ФАПЧ и ГУН для синтеза ЛЧМ-сигналов в диапазоне до нескольких гигагерц с сохранением высокой точности и скорости перестройки частоты.

Применение

ЛЧМ-сигналы применяются в радиолокации в качестве способа формирования и обработки зондирующего импульса. Применение ЛЧМ-сигнала позволяет повысить точность измерений в радиолокации.