Булево кольцо

Булево кольцо — кольцо с идемпотентным умножением, то есть, кольцо ( R , + , ⋅ ) {displaystyle (R,+,cdot )} , в котором x 2 = x {displaystyle x^{2}=x} для всех x ∈ R {displaystyle xin R} .

Связь с булевой алгеброй

Самый известный пример булева кольца получается из булевой алгебры ( B , ∧ , ∨ , ¬ ) {displaystyle (B,land ,lor ,lnot )} введением сложения и умножения следующим образом:

• x + y = ( x ∧ ¬ y ) ∨ ( ¬ x ∧ y ) {displaystyle x+y=(xland lnot y)lor (lnot xland y)} ,
• x ⋅ y = x ∧ y {displaystyle xcdot y=xland y} .

В частности, булеан некоторого множества X {displaystyle X} образует булево кольцо относительно симметрической разности и пересечения подмножеств. В связи с этим основным примером, вводящим сложение в булевом кольце как «исключающее или» для булевых алгебр, а умножение — как конъюнкцию, для сложения в булевых кольцах иногда используются символ ⊕ {displaystyle oplus } , а для умножения — знаки решёточной нижней грани ( ∧ {displaystyle land } , ∩ {displaystyle cap } , ⊓ {displaystyle sqcap } ).

Всякое булево кольцо, полученное таким образом из булевой алгебры, обладает единицей, совпадающей с единицей исходной булевой алгебры. Кроме того, всякое булево кольцо с единицей ( R , + , ⋅ , 1 ) {displaystyle (R,+,cdot ,1)} однозначно определяет булеву алгебру следующими определениями операций:

• x ∧ y = x ⋅ y {displaystyle xland y=xcdot y} ,
• x ∨ y = x + y + x y {displaystyle xlor y=x+y+xy} ,
• ¬ x = 1 + x {displaystyle lnot x=1+x} .

Свойства

В каждом булевом кольце ( R , + , ⋅ ) {displaystyle (R,+,cdot )} выполнено x + x = 0 {displaystyle x+x=0} как следствие идемпотентности относительно умножения:

x + x = ( x + x ) 2 = x + x + x + x {displaystyle x+x=(x+x)^{2}=x+x+x+x} ,

и так как ( R , + ) {displaystyle (R,+)} в кольце является абелевой группой, то можно вычесть компонент x + x {displaystyle x+x} из обеих частей этого уравнения.

Всякое булево кольцо коммутативно, что также является следствием идемпотентности умножения:

x + y = ( x + y ) 2 = x 2 + x y + y x + y 2 = x + y + x y + y x {displaystyle x+y=(x+y)^{2}=x^{2}+xy+yx+y^{2}=x+y+xy+yx} ,

что даёт x y + y x = 0 {displaystyle xy+yx=0} , что, в свою очередь, означает x y = y x {displaystyle xy=yx} .

Всякое нетривиальное конечное булево кольцо является прямой суммой полей вычетов по модулю 2 ( Z 2 {displaystyle mathbb {Z} _{2}} ) и обладает единицей.

Факторкольцо R / I {displaystyle R/I} любого булева кольца по произвольному идеалу I {displaystyle I} также является булевым кольцом. Таким же образом, любое подкольцо некоторого булева кольца является булевым кольцом. Каждый простой идеал P {displaystyle P} в булевом кольце R {displaystyle R} является максимальным: факторкольцо R / P {displaystyle R/P} является областью целостности, а также булевым кольцом, поэтому оно изоморфно полю F 2 {displaystyle mathbb {F} _{2}} , что показывает максимальность P {displaystyle P} . Так как максимальные идеалы всегда простые, понятия простого и максимального идеалов совпадают для булевых колец.

Булевы кольца являются абсолютно плоскими, то есть любой модуль над ними является плоским.

Каждый идеал с конечным числом образующих булева кольца является главным.