Вложенные радикалы

В алгебре вложенным радикалом называется радикал, содержащийся в другом радикале. Например

5 − 2 5   , {displaystyle {sqrt {5-2{sqrt {5}} }},}

или более сложный пример

2 + 3 + 4 3   3 . {displaystyle {sqrt[{3}]{2+{sqrt {3}}+{sqrt[{3}]{4}} }}.}

Значения всех вложенных радикалов называются выразимыми в радикалах.

Упрощение вложенных радикалов

Некоторые вложенные радикалы могут быть упрощены. Например:

3 + 2 2 = 1 + 2 , {displaystyle {sqrt {3+2{sqrt {2}}}}=1+{sqrt {2}},,} 2 3 − 1 3 = 1 − 2 3 + 4 3 9 3 . {displaystyle {sqrt[{3}]{{sqrt[{3}]{2}}-1}}={frac {1-{sqrt[{3}]{2}}+{sqrt[{3}]{4}}}{sqrt[{3}]{9}}},.}

В общем случае упрощение является сложной проблемой, если оно вообще возможно. Следующая формула позволяет произвести упрощение в случае, когда R = a 2 − b 2 c {displaystyle R={sqrt {a^{2}-b^{2}c}}} рационально:

a ± b c = a + R 2 ± a − R 2 . {displaystyle {sqrt {apm b{sqrt {c}}}}={sqrt {frac {a+R}{2}}}pm {sqrt {frac {a-R}{2}}}.}

Например,

a ± a 2 − b 2 = a + b 2 ± a − b 2 ( | a | ≥ | b | ) . {displaystyle {sqrt {apm {sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}={sqrt {frac {a+b}{2}}}pm {sqrt {frac {a-b}{2}}}quad (|a|geq |b|).}

В частности, для комплексных чисел ( c = − 1 {displaystyle c=-1} ):

a + b i = ± ( | z | + a 2 + i sgn ⁡ ( b ) | z | − a 2 ) , {displaystyle {sqrt {a+bi}}=pm left({sqrt {frac {left|z ight|+a}{2}}}+ioperatorname {sgn}(b){sqrt {frac {left|z ight|-a}{2}}} ight),} где | z | = a 2 + b 2 . {displaystyle left|z ight|={sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}

Бесконечно вложенные радикалы

Общие положения

В некоторых случаях бесконечно вложенные радикалы могут быть тождественны некоторому рациональному числу, например выражение

x = 2 + 2 + 2 + 2 + ⋯ {displaystyle x={sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+cdots }}}}}}}}}

равно 2. Для того чтобы это увидеть, возведем обе части выражения в квадрат и отнимем 2:

x 2 − 2 = 2 + 2 + 2 + ⋯ = x {displaystyle x^{2}-2={sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+cdots }}}}}}=x} ; x 2 − x − 2 = 0 {displaystyle x^{2}-x-2=0} ; x 1 = 2 , x 2 = − 1 {displaystyle x_{1}=2,x_{2}=-1} .

Очевидно, что − 1 {displaystyle -1} не может являться значением исходного радикала.

Тривиальные случаи

• Для квадратного корня: a + b a + b a + b a + b ⋯ = b + b 2 + 4 a 2 {displaystyle {sqrt {a+b{sqrt {a+b{sqrt {a+b{sqrt {a+b{sqrt {cdots }}}}}}}}}}={frac {b+{sqrt {b^{2}+4a}}}{2}}} ;
• Для корня степени n {displaystyle n} a + b a + b a + b a + b ⋯ n n n n n = x , {displaystyle {sqrt[{n}]{a+b{sqrt[{n}]{a+b{sqrt[{n}]{a+b{sqrt[{n}]{a+b{sqrt[{n}]{cdots }}}}}}}}}}=x,} где x {displaystyle x} является решением уравнения x n − b x − a = 0 {displaystyle x^{n}-bx-a=0} .

Нетривиальные случаи

• Формула Рамануджана: x + n + a = a x + ( n + a ) 2 + x a ( x + n ) + ( n + a ) 2 + ( x + n ) a ( x + 2 n ) + ( n + a ) 2 + ( x + 2 n ) ⋯ {displaystyle x+n+a={sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){sqrt {cdots }}}}}}}}}

Частные случаи

• Золотое сечение: ϕ = 1 + 1 + 1 + ⋯ {displaystyle phi ={sqrt {1+{sqrt {1+{sqrt {1+{sqrt {cdots }}}}}}}}}
• Пластическое число: ρ = 1 + 1 + 1 + ⋯ 3 3 3 3 {displaystyle ho ={sqrt[{3}]{1+{sqrt[{3}]{1+{sqrt[{3}]{1+{sqrt[{3}]{cdots }}}}}}}}}
• Число Пи: 2 π = 1 2 1 2 + 1 2 1 2 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 1 2 ⋯ {displaystyle {frac {2}{pi }}={sqrt {frac {1}{2}}}{sqrt {{frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}{sqrt {frac {1}{2}}}}}{sqrt {{frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}{sqrt {{frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}{sqrt {frac {1}{2}}}}}}}cdots }