Теорема Фишера — Типпета — Гнеденко

В статистике теорема Фишера — Типпета — Гнеденко (также теорема Фишера — Типпета или теорема об экстремальных значениях ) является теоремой теории экстремальных значений в отношении асимптотического распределения статистик экстремального порядка . Теорема об экстремальных значениях и детали ее сходимости приписываются Фреше (1927), Фишеру и Типпету (1928), Мизесу (1936) и Гнеденко (1943).

Впервые проблема нахождения распределения максимального значения в последовательности случайных величин была сформулирована Борткевичем В.И. в 1922 году. В 1928 Фишер и Типпет указали принадлежность распределения к одному из трех типов. В работах Мизеса и Гнеденко были указаны условия сходимости к данным трем распределениям

Описание

Есть последовательность величин X 1 , X 2 , . . . , X n . . . {displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}...} независимых и одинаково распределенных переменных M n = max { X 1 , . . . , X n } {displaystyle M_{n}=max{X_{1},...,X_{n}}} . Если имеются пары действительных чисел ( a n , b n ) {displaystyle (a_{n},b_{n})} то существуют такой, что a n > 0 {displaystyle a_{n}>0} e lim n → ∞ P ( M n − b n a n ≤ x ) = F ( x ) {displaystyle lim _{n o infty }Pleft({frac {M_{n}-b_{n}}{a_{n}}}leq x ight)=F(x)} , если F {displaystyle F} является невыраженной функцией распределения, то предельное распределение F {displaystyle F} принадлежит к распределениям либо Гумбеля, либо Фреше, либо Вейбулля. Эти ситуации называют обобщениями экстремальными законами.

В разработке теоремы участвовали Математики Фишер в 1927 и Типетт в 1928 году, а также Борис Гнеденко в 1943 году.

G(γ,x,θ) =EXP[ -(1+ γ *(x-µ)/θ)^(-1/ γ) ]

Данная функция при γ =0 имеет форму распределения Гумбеля (экспотенциальный хвост) ,при γ > 0 имеет форму распределения Фреше (тяжелый хвост), а при γ < 0 (легкий хвост) — форму распределения Вейбулла.