Псевдосфера

Псевдосфера (или поверхность Бельтрами) — поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной.

История

Впервые исследована Миндингом в 1839—1840 годах. В частности, им было показано, что понятия группы движений и конгруэнтных фигур имеют смысл лишь на поверхностях постоянной кривизны. Название «псевдосфера» поверхности дал Бельтрами. Он же обратил внимание на то, что псевдосфера реализует локальную модель геометрии Лобачевского, наряду с проективной моделью и конформно-евклидовой моделью.

Характеристики

Если трактрису задать в плоскости Oxz параметрическими уравнениями

x = a sin ⁡ u {displaystyle x=asin u} , y = 0 {displaystyle y=0} , z = a ( ln ⁡ tg ⁡ u 2 + cos ⁡ u ) , 0 ≤ u ≤ π 2 {displaystyle z=aleft(ln operatorname {tg} {frac {u}{2}}+cos u ight),quad 0leq uleq {frac {pi }{2}}} ,

то параметрическими уравнениями псевдосферы будут

x = a sin ⁡ u cos ⁡ v {displaystyle x=asin ucos v} , y = a sin ⁡ u sin ⁡ v {displaystyle y=asin usin v} , z = a ( ln ⁡ tg ⁡ u 2 + cos ⁡ u ) {displaystyle z=aleft(ln operatorname {tg} {frac {u}{2}}+cos u ight)} , 0 ≤ u ≤ π 2 ,   0 ≤ v ≤ 2 π {displaystyle 0leq uleq {frac {pi }{2}}, 0leq vleq 2pi } .

Первая квадратичная форма:

d s 2 = a 2 ctg 2 ⁡ u d u 2 + a 2 sin 2 ⁡ u d v 2 {displaystyle ds^{2}=a^{2}operatorname {ctg} ^{2}u,du^{2}+a^{2}sin ^{2}u,dv^{2}}

Вторая квадратичная форма:

ϕ 2 = a ( − ctg ⁡ u d u 2 + sin ⁡ u cos ⁡ u d v 2 ) {displaystyle phi _{2}=a(-operatorname {ctg} u,du^{2}+sin ucos u,dv^{2})}

Гауссова кривизна псевдосферы постоянна, отрицательна и равна −1/a².

Площадь обоих раструбов псевдосферы совпадает с площадью сферы ( 4 π a 2 {displaystyle 4pi a^{2}} ), объём — половина от объёма шара ( 2 3 π a 3 {displaystyle { frac {2}{3}}pi a^{3}} ).

Вариации и обобщения

• Поверхность Дини — похожий пример поверхности постоянной отрицательной кривизны. Она даёт изометрическое погружение области плоскости Лобачевского, ограниченной орициклом.