Гармонический ряд

Гармонический ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 k + ⋯ {displaystyle sum _{k=1}^{mathcal {infty }}{frac {1}{k}}=1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+{frac {1}{4}}+cdots +{frac {1}{k}}+cdots } .

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: k {displaystyle k} -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной 1 k {displaystyle {frac {1}{k}}} от длины исходной струны. Кроме того, каждый член ряда, начиная со второго, представляет собой среднее гармоническое двух соседних членов.

Суммы первых n членов ряда (частичные суммы)

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. Частичная сумма n первых членов гармонического ряда называется n-м гармоническим числом:

H n = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n {displaystyle H_{n}=sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}=1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+{frac {1}{4}}+cdots +{frac {1}{n}}}

Разница между n {displaystyle n} -м гармоническим числом и натуральным логарифмом n {displaystyle n} сходится к постоянной Эйлера — Маскерони γ = 0,577 2... {displaystyle gamma =0{,}5772...} .

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме H 1 = 1 {displaystyle H_{1}=1} , не является целым: ∀ n > 1 ∑ k = 1 n 1 k ∉ N {displaystyle forall n>1;;;;sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}} otin mathbb {N} } .

Некоторые значения частичных сумм

Формула Эйлера

В 1740 году Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n {displaystyle n} членов ряда:

H n = ln ⁡ n + γ + ε n {displaystyle H_{n}=ln n+gamma +varepsilon _{n}} ,

где γ = 0,577 2... {displaystyle gamma =0{,}5772...} — постоянная Эйлера — Маскерони, а ln {displaystyle ln } — натуральный логарифм.

При n → ∞ {displaystyle n ightarrow infty } значение ε n → 0 , {displaystyle varepsilon _{n} ightarrow 0,} следовательно, для больших n {displaystyle n}

H n ≈ ln ⁡ n + γ {displaystyle H_{n}approx ln n+gamma } — формула Эйлера для суммы первых n {displaystyle n} членов гармонического ряда.

Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:

H n ≍ ln ⁡ n + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − 1 252 n 6 ⋯ = ln ⁡ n + γ + 1 2 n − ∑ k = 1 ∞ B 2 k 2 k n 2 k , {displaystyle H_{n}asymp ln n+gamma +{frac {1}{2n}}-{frac {1}{12n^{2}}}+{frac {1}{120n^{4}}}-{frac {1}{252n^{6}}}dots =ln n+gamma +{frac {1}{2n}}-sum _{k=1}^{infty }{frac {B_{2k}}{2k,n^{2k}}},} где B 2 k {displaystyle B_{2k}} — числа Бернулли.

Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена.

Расходимость ряда

Гармонический ряд расходится: s n → ∞ {displaystyle s_{n} ightarrow infty } при n → ∞ , {displaystyle n ightarrow infty ,} однако очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 1043 элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его со следующим телескопическим рядом, который получается из логарифмирования ( 1 + 1 n ) n < e {displaystyle left(1+{frac {1}{n}} ight)^{n}<e} :

v n = ln ⁡ ( n + 1 ) − ln ⁡ n = ln ⁡ ( 1 + 1 n ) < 1 n . {displaystyle v_{n}=ln(n+1)-ln n=ln left(1+{frac {1}{n}} ight)<{frac {1}{n}}.}

Частичная сумма этого ряда, очевидно, равна ∑ i = 1 n v i = ln ⁡ ( n + 1 ) . {displaystyle sum _{i=1}^{n}v_{i}=ln(n+1).} Последовательность таких частичных сумм расходится; следовательно, по определению телескопический ряд расходится, но тогда из признака сравнения рядов следует, что гармонический ряд тоже расходится.

Доказательство через предел последовательности частичных сумм

Рассмотрим последовательность H n = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n . {displaystyle H_{n}=sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}=1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+{frac {1}{4}}+cdots +{frac {1}{n}}.} Покажем, что эта последовательность не является фундаментальной, то есть, что ∃ ε > 0 : ∀ k ∈ N   ∃ n > k , ∃ p ∈ N : | H n + p − H n | ≥ ε . {displaystyle exists varepsilon >0:forall kin mathbb {N} exists n>k,exists pin mathbb {N} :leftvert H_{n+p}-H_{n} ightvert geq varepsilon .} Оценим разность | H n + p − H n | = 1 n + 1 + ⋯ + 1 n + p ≥ 1 n + p + ⋯ + 1 n + p = p n + p . {displaystyle leftvert H_{n+p}-H_{n} ightvert ={frac {1}{n+1}}+cdots +{frac {1}{n+p}}geq {frac {1}{n+p}}+cdots +{frac {1}{n+p}}={frac {p}{n+p}}.} Пусть p ≐ n . {displaystyle pdoteq n.} Тогда ∀ n ∈ N : | H 2 n − H n | ≥ 1 2 . {displaystyle forall nin mathbb {N} :leftvert H_{2n}-H_{n} ightvert geq {frac {1}{2}}.} Следовательно, данная последовательность не является фундаментальной и по критерию Коши расходится. Тогда по определению ряд также расходится.

Доказательство Орема

Доказательство расходимости можно построить, если сравнить гармонический ряд с другим расходящимся рядом, в котором знаменатели дополнены до степени двойки. Этот ряд группируется, и получается третий ряд, который расходится:

∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + [ 1 2 ] + [ 1 3 + 1 4 ] + [ 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ] + [ 1 9 + ⋯ ] + ⋯ > 1 + [ 1 2 ] + [ 1 4 + 1 4 ] + [ 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ] + [ 1 16 + ⋯ ] + ⋯ = 1 +   1 2       + 1 2   +   1 2     +     1 2   +   ⋯ . {displaystyle {egin{aligned}sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k}}&{}=1+left[{frac {1}{2}} ight]+left[{frac {1}{3}}+{frac {1}{4}} ight]+left[{frac {1}{5}}+{frac {1}{6}}+{frac {1}{7}}+{frac {1}{8}} ight]+left[{frac {1}{9}}+cdots ight]+cdots &{}>1+left[{frac {1}{2}} ight]+left[{frac {1}{4}}+{frac {1}{4}} ight]+left[{frac {1}{8}}+{frac {1}{8}}+{frac {1}{8}}+{frac {1}{8}} ight]+left[{frac {1}{16}}+cdots ight]+cdots &{}=1+ {frac {1}{2}} +quad {frac {1}{2}} quad + qquad quad {frac {1}{2}}qquad quad +quad {frac {1}{2}} quad + cdots .end{aligned}}}

(Группировка сходящихся рядов всегда дает сходящийся ряд, а значит если после группировки получился ряд расходящийся, то и исходный тоже расходится.)

Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Связанные ряды

Обобщённый гармонический ряд

Обобщённым гармоническим рядом (частный случай ряда Дирихле) называют ряд

∑ k = 1 ∞ 1 k α = 1 + 1 2 α + 1 3 α + 1 4 α + ⋯ + 1 k α + ⋯ {displaystyle sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k^{alpha }}}=1+{frac {1}{2^{alpha }}}+{frac {1}{3^{alpha }}}+{frac {1}{4^{alpha }}}+cdots +{frac {1}{k^{alpha }}}+cdots } .

Этот ряд расходится при α ⩽ 1 {displaystyle alpha leqslant 1} и сходится при α > 1 {displaystyle alpha >1} .

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α {displaystyle alpha } равна значению дзета-функции Римана:

∑ k = 1 ∞ 1 k α = ζ ( α ) {displaystyle sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k^{alpha }}}=zeta (alpha )}

Для чётных это значение явно выражается через число пи — например, сумма ряда обратных квадратов ζ ( 2 ) = π 2 6 {displaystyle zeta (2)={frac {pi ^{2}}{6}}} . Но уже для α=3 его значение (константа Апери) аналитически неизвестно.

Другой иллюстрацией расходимости гармонического ряда может служить соотношение ζ ( 1 + 1 n ) ∼ n . {displaystyle zeta (1+{frac {1}{n}})sim n.}

Знакопеременный ряд

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ {displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n+1}}{n}};=;1,-,{frac {1}{2}},+,{frac {1}{3}},-,{frac {1}{4}},+,{frac {1}{5}},-,cdots }

сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2:

1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ = ln ⁡ 2. {displaystyle 1,-,{frac {1}{2}},+,{frac {1}{3}},-,{frac {1}{4}},+,{frac {1}{5}},-,cdots ;=;ln 2.}

Эта формула — частный случай ряда Меркатора, то есть ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:

∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ = π 4 . {displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{2n+1}};;=;;1,-,{frac {1}{3}},+,{frac {1}{5}},-,{frac {1}{7}},+,cdots ;;=;;{frac {pi }{4}}.}

Это соотношение известно как ряд Лейбница.

Случайный гармонический ряд

В 2003 году изучены свойства случайного ряда

∑ n = 1 ∞ s n n , {displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {s_{n}}{n}},}

где s n {displaystyle s_{n}} — независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2, имеет значение:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642…,

отличаясь от ⅛ на менее чем 10−42.

«Истончённый» гармонический ряд

См. Ряд Кемпнера

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшийся ряд сходится, и его сумма меньше 80. Позже была найдена более точная оценка, ряд Кемпнера сходится к 22,920 67661926415034816 {displaystyle 22{,}92067661926415034816} (последовательность A082838 в OEIS). Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Из этого можно сделать ошибочное заключение о сходимости исходного гармонического ряда, что не верно, поскольку с ростом разрядов в числе n {displaystyle n} всё меньше слагаемых берётся для суммы «истончённого» ряда. То есть, в конечном счёте отбрасывается подавляющее большинство членов, образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.