Теорема Бёрча

Теорема Бёрча – это теорема названная именем британского математика Брайана Джона Бёрча. Теорема является утверждением о существовании и представимости нулей форм нечётной степени.

Утверждение теоремы Бёрча

Пусть K алгебраическое числовое поле, k, l и n натуральные числа, r 1 , … , r k {displaystyle r_{1},dots ,r_{k}} нечётные натуральные числа, а f 1 , … , f k {displaystyle f_{1},dots ,f_{k}} однородные многочлены с коэффициентами из K степени r 1 , … , r k {displaystyle r_{1},dots ,r_{k}} соответственно от n переменных. Тогда существует число ψ ( r 1 , … , r k , l , K ) {displaystyle psi (r_{1},dots ,r_{k},l,K)} , такое что при

n ⩾ ψ ( r 1 , … , r k , l , K ) {displaystyle ngeqslant psi (r_{1},ldots ,r_{k},l,K)}

существует l-мерное векторное подпространство V в Kn, такое что

f 1 ( x ) = ⋯ = f k ( x ) = 0  для всех  x ∈ V . {displaystyle f_{1}(x)=cdots =f_{k}(x)=0{ ext{ для всех }}xin V.}