04.10.2022

Сумма (математика)

Сумма (лат. summa — итог, общее количество) в математике — результат применения операции сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.), либо результат последовательного выполнения нескольких операций сложения (суммирования). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

a + b = b + a , {displaystyle a+b=b+a,} a + ( b + c ) = ( a + b ) + c , {displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c,} ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c , {displaystyle (a+b)cdot c=acdot c+bcdot c,} c ⋅ ( a + b ) = c ⋅ a + c ⋅ b , {displaystyle ccdot (a+b)=ccdot a+ccdot b,}

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы объединяемых множеств, взятые без повторений.

Также сложение (нахождение суммы) может быть определено для более сложных алгебраических структур (сумма групп, сумма линейных пространств, сумма идеалов, и другие примеры). В теории категорий определяется понятие суммы объектов.

Сумма натуральных чисел

Пусть в множестве N {displaystyle mathbb {N} } находится a {displaystyle a} элементов, образующих подмножество A {displaystyle A} , и b {displaystyle b} элементов, образующих подмножество B {displaystyle B} ( A ⊂ N , B ⊂ N {displaystyle Asubset mathbb {N} ,Bsubset mathbb {N} } , a и b — натуральные числа). Тогда арифметической суммой a + b {displaystyle a+b} будет количество элементов c {displaystyle c} , образующих подмножество C ⊂ N {displaystyle Csubset mathbb {N} } , полученное при дизъюнктном объединении двух исходных подмножеств C = A ⊔ B . {displaystyle C=Asqcup B.}

Алгебраическая сумма

Сумму математически обозначают заглавной греческой буквой Σ (сигма).

∑ i = ⁡ m n a i = a m + a m + 1 + a m + 2 + ⋯ + a n − 1 + a n {displaystyle sum _{imathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+cdots +a_{n-1}+a_{n}}

где: i — индекс суммирования; ai — переменная, обозначающая каждый член в серии; m — нижняя граница суммирования, n — верхняя граница суммирования. Обозначение «i = m» под символом суммирования означает, что начальное (стартовое) значение индекса i эквивалентно m. Из этой записи следует, что индекс i инкрементируется на 1 в каждом члене выражения и остановится, когда i = n.

В программировании данной процедуре соответствует цикл for.

Примеры записи ∑ i = ⁡ 1 100 i = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 99 + 100 {displaystyle sum _{imathop {=} 1}^{100}i=1+2+3+4+{...}+99+100} ∑ i = ⁡ 3 6 i 2 = 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 = 86 {displaystyle sum _{imathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86}

Границы могут опускаться из записи, если они ясны из контекста:

∑ a i 2 = ∑ i = ⁡ 1 n a i 2 . {displaystyle sum a_{i}^{2}=sum _{imathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}.}

Итератор может быть выражением — тогда переменная оформляется со скобками как функция « f ( ) {displaystyle f()} ». Например, сумма всех f ( k ) {displaystyle f(k)} при натуральных числах k {displaystyle k} в определённом диапазоне:

∑ 0 ≤ k < 100 f ( k ) . {displaystyle sum _{0leq k<100}f(k).}

Сумма f ( x ) {displaystyle f(x)} элементов x {displaystyle x} множества S {displaystyle S} :

∑ x ∈ ⁡ S f ( x ) . {displaystyle sum _{xmathop {in } S}f(x).}

Сумма μ ( d ) {displaystyle mu (d)} всех положительных чисел d {displaystyle d} , являющихся делителями числа n {displaystyle n} :

∑ d | n μ ( d ) . {displaystyle sum _{d|n};mu (d).}

Под знаком итеративного суммирования может использоваться несколько индексов, например:

∑ i , j = ∑ i ∑ j , {displaystyle sum _{i,j}=sum _{i}sum _{j},}

причём набор из нескольких индексов можно сократить в виде так называемого мультииндекса.

Бесконечная сумма

В математическом анализе определяется понятие ряда — суммы бесконечного числа слагаемых.

Примеры последовательных сумм

1. Сумма арифметической прогрессии:

∑ i = 0 n ( a 0 + b ⋅ i ) = ( n + 1 ) a 0 + a n 2 {displaystyle sum _{i=0}^{n}(a_{0}+bcdot i)=(n+1){frac {a_{0}+a_{n}}{2}}}

2. Сумма геометрической прогрессии:

∑ i = 0 n a 0 ⋅ b i = a 0 ⋅ 1 − b n + 1 1 − b {displaystyle sum _{i=0}^{n}a_{0}cdot b^{i}=a_{0}cdot {frac {1-b^{n+1}}{1-b}}}

3. ∑ k = 1 n k 3 = [ n ( n + 1 ) 2 ] 2 = ( ∑ k = 1 n k ) 2 {displaystyle sum limits _{k=1}^{n}k^{3}=left[{frac {n(n+1)}{2}} ight]^{2}=left(sum limits _{k=1}^{n}k ight)^{2}}

4. ∑ i = 0 n ( 1 p ) i = p p − 1 ( 1 − 1 p n + 1 ) , p ≠ 1 , n ≥ 0 {displaystyle sum _{i=0}^{n}{left({frac {1}{p}} ight)}^{i}={frac {p}{p-1}}left(1-{frac {1}{p^{n+1}}} ight),quad p eq 1,ngeq 0}

Доказательство ∑ i = 0 n ( 1 p ) i = ∑ i = 0 n 1 ⋅ 1 p i = 1 ⋅ 1 − ( 1 p ) n + 1 1 − 1 p = p n + 1 − 1 p n + 1 p − 1 p = p n + 1 − 1 p n ( p − 1 ) = p p − 1 ( 1 − 1 p n + 1 ) {displaystyle sum _{i=0}^{n}{left({frac {1}{p}} ight)}^{i}=sum _{i=0}^{n}{1cdot {frac {1}{p^{i}}}}=1cdot {frac {1-{left({frac {1}{p}} ight)}^{n+1}}{1-{frac {1}{p}}}}={frac {frac {p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{frac {p-1}{p}}}={frac {p^{n+1}-1}{p^{n}(p-1)}}={frac {p}{p-1}}left(1-{frac {1}{p^{n+1}}} ight)}

5. ∑ i = 0 n i p i = n p n + 2 − ( n + 1 ) p n + 1 + p ( p − 1 ) 2 , p ≠ 1 {displaystyle sum _{i=0}^{n}ip^{i}={frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2}}},quad p eq 1}

Доказательство ∑ i = 0 n i p i = ∑ i = 1 n i p i = p ⋅ ∑ i = 1 n i p i − 1 = p ⋅ ∑ i = 0 n − 1 ( i + 1 ) p i = p ⋅ ( ∑ i = 0 n − 1 i p i + ∑ i = 0 n − 1 p i ) = p ⋅ ∑ i = 0 n i p i − p ⋅ n p n + p ⋅ 1 − p n 1 − p ⇒ {displaystyle sum _{i=0}^{n}ip^{i}=sum _{i=1}^{n}ip^{i}=pcdot sum _{i=1}^{n}ip^{i-1}=pcdot sum _{i=0}^{n-1}(i+1)p^{i}=pcdot left(sum _{i=0}^{n-1}{ip^{i}}+sum _{i=0}^{n-1}p^{i} ight)=pcdot sum _{i=0}^{n}ip^{i}-pcdot np^{n}+pcdot {frac {1-p^{n}}{1-p}}Rightarrow } ⇒ ( 1 − p ) ∑ i = 0 n i p i = − n p n + 1 ( 1 − p ) + p − p n + 1 1 − p ⇒ ∑ i = 0 n i p i = n p n + 2 − ( n + 1 ) p n + 1 + p ( 1 − p ) 2 {displaystyle Rightarrow (1-p)sum _{i=0}^{n}ip^{i}={frac {-np^{n+1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p}}Rightarrow sum _{i=0}^{n}ip^{i}={frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}}

6. ∑ i = 0 n p i = ( p − 1 ) ∑ i = 0 n − 1 ( ( n − i ) p i ) + n + 1 , p ≠ 1 {displaystyle sum _{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,quad p eq 1}

Доказательство ( p − 1 ) ∑ i = 0 n − 1 ( ( n − i ) p i ) + n + 1 = ( p − 1 ) ∑ i = 0 n ( ( n − i ) p i ) + n + 1 = ( p − 1 ) ( n ⋅ ∑ i = 0 n p i − ∑ i = 0 n i p i ) + n + 1 = {displaystyle (p-1)sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)sum _{i=0}^{n}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)left(ncdot sum _{i=0}^{n}p^{i}-sum _{i=0}^{n}ip^{i} ight)+n+1=} = ( p − 1 ) ( n ⋅ 1 − p n + 1 1 − p − n p n + 2 − ( n + 1 ) p n + 1 + p ( 1 − p ) 2 ) + n + 1 = {displaystyle =(p-1)left(ncdot {frac {1-p^{n+1}}{1-p}}-{frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}} ight)+n+1=} = n p n + 2 − n p − n p n + 1 + n − n p n + 2 + n p n + 1 + p n + 1 − p + p n − n + p − 1 p − 1 = {displaystyle ={frac {np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}}=} = p n + 1 − 1 p − 1 = ∑ i = 0 n p i {displaystyle ={frac {p^{n+1}-1}{p-1}}=sum _{i=0}^{n}p^{i}} Например, при p = 10 {displaystyle p=10} получается ∑ i = 0 n 10 i = 9 ⋅ ∑ i = 0 n − 1 ( ( n − i ) 10 i ) + n + 1 {displaystyle sum _{i=0}^{n}10^{i}=9cdot sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^{i})+n+1} , а это последовательность равенств следующего вида:
1 = 9 ⋅ 0 + 1 , 11 = 9 ⋅ 1 + 2 , 111 = 9 ⋅ 12 + 3 , 1111 = 9 ⋅ 123 + 4 , 11111 = 9 ⋅ 1234 + 5 {displaystyle 1=9cdot 0+1,quad 11=9cdot 1+2,quad 111=9cdot 12+3,quad 1111=9cdot 123+4,quad 11111=9cdot 1234+5}

Неопределённая сумма

Неопределённой суммой a i {displaystyle a_{i}} по i {displaystyle i} называется такая функция f ( i ) {displaystyle f(i)} , обозначаемая ∑ i a i {displaystyle sum _{i}^{}a_{i}} , что ∀ i : f ( i + 1 ) − f ( i ) = a i {displaystyle forall i:f(i+1)-f(i)=a_{i}} .

«Дискретная» формула Ньютона — Лейбница

Если найдена «производная» a i = f ( i + 1 ) − f ( i ) {displaystyle a_{i}=f(i+1)-f(i)} , то ∑ i = a b a i = f ( b + 1 ) − f ( a ) {displaystyle sum _{i=a}^{b}a_{i}=f(b+1)-f(a)} .

Этимология

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, а также появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (Σ) первым ввёл Леонард Эйлер в 1755 году, его поддержал Лагранж, однако долгое время с этим символом конкурировал знак S. Окончательно обозначение Σ для суммы утвердили уже в XVIII веке Фурье и Якоби.