Треугольник точек касания вневписанных окружностей

Треугольник точек касания вневписанных окружностей треугольника образован соединением точек, в которых вневписанные окружности касаются треугольника. Для краткости в статье будем называть этот треугольник треугольником внекасаний, хотя его часто называют треугольником Нагеля. Некоторые его свойства есть в статье Точка Нагеля.

Координаты

Вершины треугольника внекасаний задаются трилинейными координатами:

T A = 0 : csc 2 ⁡ ( B / 2 ) : csc 2 ⁡ ( C / 2 ) {displaystyle T_{A}=0:csc ^{2}{left(B/2 ight)}:csc ^{2}{left(C/2 ight)}} T B = csc 2 ⁡ ( A / 2 ) : 0 : csc 2 ⁡ ( C / 2 ) {displaystyle T_{B}=csc ^{2}{left(A/2 ight)}:0:csc ^{2}{left(C/2 ight)}} T C = csc 2 ⁡ ( A / 2 ) : csc 2 ⁡ ( B / 2 ) : 0 {displaystyle T_{C}=csc ^{2}{left(A/2 ight)}:csc ^{2}{left(B/2 ight)}:0}

Или, эквивалентно, если a,b,c являются длинами сторон, противоположных углам A, B, C соответственно,

T A = 0 : a − b + c b : a + b − c c {displaystyle T_{A}=0:{frac {a-b+c}{b}}:{frac {a+b-c}{c}}} T B = − a + b + c a : 0 : a + b − c c {displaystyle T_{B}={frac {-a+b+c}{a}}:0:{frac {a+b-c}{c}}} T C = − a + b + c a : a − b + c b : 0. {displaystyle T_{C}={frac {-a+b+c}{a}}:{frac {a-b+c}{b}}:0.}

Связанные фигуры

Разделителями периметра треугольника являются отрезки, соединяющие вершины исходного треугольника с соответствующими вершинами треугольника внекасаний. Они делят периметр пополам (это и есть определение разделителя периметра) и пересекаются в точке Нагеля, которая на рисунке выделена синим цветом и помечена буквой «N».

Эллипс Мандара касается сторон исходного треугольника в трёх вершинах треугольника внекасаний.

Площадь

Площадь треугольника внекасаний, K T {displaystyle K_{T}} , задаётся формулой:

K T = K 2 r 2 s a b c {displaystyle K_{T}=K{frac {2r^{2}s}{abc}}} ,

где K {displaystyle K} , r {displaystyle r} , s {displaystyle s} являются площадью, радиусом вписанной окружности и полупериметром исходного треугольника, а a {displaystyle a} , b {displaystyle b} , c {displaystyle c} являются длинами сторон исходного треугольника.

Это та же площадь, что и у треугольника касаний.