Дельтоидальный гексеконтаэдр

Дельтоидальный гексеконтаэдр (от «дельтоид» и др.-греч. ἑξήκοντα — «шестьдесят», ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный ромбоикосододекаэдру. Составлен из 60 одинаковых выпуклых дельтоидов.

Имеет 62 вершины. В 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся своими наименьшими углами по 5 граней; в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся своими наибольшими углами по 3 грани; в остальных 30 вершинах (расположенных так же, как вершины икосододекаэдра) сходятся своими средними по величине углами по 4 грани.

• 12 вершин расположены так же, как вершины икосаэдра

• 20 вершин расположены так же, как вершины додекаэдра

• 30 вершин расположены так же, как вершины икосододекаэдра

Имеет 120 рёбер — 60 «длинных» (вместе образующих нечто вроде «раздутого» остова икосаэдра) и 60 «коротких» (образующих «раздутый» остов додекаэдра).

Дельтоидальный гексеконтаэдр — одно из шести каталановых тел, в которых нет гамильтонова цикла; гамильтонова пути для всех шести также нет.

Метрические характеристики и углы

Грань дельтоидального гексеконтаэдра

Если «короткие» рёбра дельтоидального гексеконтаэдра имеют длину b {displaystyle b} , то его «длинные» рёбра имеют длину

a = 1 6 ( 7 + 5 ) b ≈ 1,539 3447 b . {displaystyle a={frac {1}{6}}left(7+{sqrt {5}} ight)bapprox 1{,}5393447b.}

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

S = 10 ( 437 + 185 5 ) b 2 ≈ 92,231 9129 b 2 , {displaystyle S={sqrt {10left(437+185{sqrt {5}} ight)}};b^{2}approx 92{,}2319129b^{2},} V = 1 3 2 ( 14765 + 6602 5 ) b 3 ≈ 81,004 1436 b 3 . {displaystyle V={frac {1}{3}}{sqrt {2left(14765+6602{sqrt {5}} ight)}};b^{3}approx 81{,}0041436b^{3}.}

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

r = 1 2 1 205 ( 2855 + 1269 5 ) b ≈ 2,634 7977 b , {displaystyle r={frac {1}{2}}{sqrt {{frac {1}{205}}left(2855+1269{sqrt {5}} ight)}};bapprox 2{,}6347977b,}

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

ρ = 1 20 ( 25 + 13 5 ) b ≈ 2,703 4442 b , {displaystyle ho ={frac {1}{20}}left(25+13{sqrt {5}} ight)bapprox 2{,}7034442b,}

радиус окружности, вписанной в грань —

r Γ P = ρ 2 − r 2 = 1 2 1 410 ( 317 + 127 5 ) b ≈ 0,605 3525 b , {displaystyle r_{Gamma mathrm {P} }={sqrt { ho ^{2}-r^{2}}}={frac {1}{2}}{sqrt {{frac {1}{410}}left(317+127{sqrt {5}} ight)}};bapprox 0{,}6053525b,}

меньшая диагональ грани (делящая грань на два равнобедренных треугольника) —

e = 1 10 ( 25 + 2 5 ) b ≈ 1,716 7451 b , {displaystyle e={sqrt {{frac {1}{10}}left(25+2{sqrt {5}} ight)}};bapprox 1{,}7167451b,}

большая диагональ грани (делящая грань на два равных треугольника) —

f = 1 3 1 5 ( 75 + 31 5 ) b ≈ 1,790 8292 b . {displaystyle f={frac {1}{3}}{sqrt {{frac {1}{5}}left(75+31{sqrt {5}} ight)}};bapprox 1{,}7908292b.}

Описать около дельтоидального гексеконтаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Наибольший угол грани (между двумя «короткими» сторонами) равен arccos ⁡ ( − 5 + 2 5 20 ) ≈ 118 , 27 ∘ ; {displaystyle arccos left(-{frac {5+2{sqrt {5}}}{20}} ight)approx 118{,}27^{circ };} наименьший угол грани (между двумя «длинными» сторонами) arccos 9 5 − 5 40 ≈ 67 , 78 ∘ ; {displaystyle arccos ,{frac {9{sqrt {5}}-5}{40}}approx 67{,}78^{circ };} два средних по величине угла (между «короткой» и «длинной» сторонами) arccos 5 − 2 5 10 ≈ 86 , 97 ∘ . {displaystyle arccos ,{frac {5-2{sqrt {5}}}{10}}approx 86{,}97^{circ }.}

Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен arccos ⁡ ( − 19 + 8 5 41 ) ≈ 154 , 12 ∘ . {displaystyle arccos left(-{frac {19+8{sqrt {5}}}{41}} ight)approx 154{,}12^{circ }.}