Тета-функция Рамануджана

Тета-функция Рамануджана обобщает тета-функции Якоби, не разрушая основные их свойства. В частности, тройное произведение Якоби принимает особенно элегантный вид, когда записывается в терминах тета-функции Рамануджана. Функция носит имя Сриниваса Рамануджана Айенгора.

Определение

Тета-функция Рамануджана определяется как

f ( a , b ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n ( n + 1 ) / 2 b n ( n − 1 ) / 2 {displaystyle f(a,b)=sum _{n=-infty }^{infty }a^{n(n+1)/2};b^{n(n-1)/2}}

для |ab| < 1. Тождество тройного произведения Якоби тогда принимает вид

f ( a , b ) = ( − a ; a b ) ∞ ( − b ; a b ) ∞ ( a b ; a b ) ∞ . {displaystyle f(a,b)=(-a;ab)_{infty };(-b;ab)_{infty };(ab;ab)_{infty }.}

Здесь выражение ( a ; q ) n {displaystyle (a;q)_{n}} означает q-символ Похгаммера. Тождества, вытекающие из этого

f ( q , q ) = ∑ n = − ∞ ∞ q n 2 = ( − q ; q 2 ) ∞ 2 ( q 2 ; q 2 ) ∞ {displaystyle f(q,q)=sum _{n=-infty }^{infty }q^{n^{2}}={(-q;q^{2})_{infty }^{2}(q^{2};q^{2})_{infty }}} f ( q , q 3 ) = ∑ n = 0 ∞ q n ( n + 1 ) / 2 = ( q 2 ; q 2 ) ∞ ( − q ; q ) ∞ {displaystyle f(q,q^{3})=sum _{n=0}^{infty }q^{n(n+1)/2}={(q^{2};q^{2})_{infty }}{(-q;q)_{infty }}} f ( − q , − q 2 ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q n ( 3 n − 1 ) / 2 = ( q ; q ) ∞ {displaystyle f(-q,-q^{2})=sum _{n=-infty }^{infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}=(q;q)_{infty }}

Последнее тождество является функцией Эйлера, которая тесно связана с эта-функцией Дедекинда. Тета-функция Якоби может быть записана в терминах тета-функции Рамануджана:

ϑ ( w , q ) = f ( q w 2 , q w − 2 ) {displaystyle vartheta (w,q)=f(qw^{2},qw^{-2})}

Приложение в теории струн

Тета-функция Рамануджана используется для определения критических размерностей в теории бозонных струн, теории суперструн и М-теории.