Регулярная матрица Адамара

Регулярная матрица Адамара — это матрица Адамара, у которой суммы по строкам и столбцам равны. В то время как порядок матрицы Адамара должен быть 1, 2 или кратен 4, регулярные матрицы Адамара удовлетворяют дальнейшим ограничениям, что порядок равен полному квадрату. Избыток, обозначаемый E(H), матрицы Адамара H порядка n определяется как сумма элементов матрицы H. Избыток удовлетворяет ограничению | E ( H ) | ⩽ n 3 2 {displaystyle |E(H)|leqslant n^{ frac {3}{2}}} . Матрица Адамара достигает этой границы тогда и только тогда, когда она регулярна.

Параметры

Если n = 4 u 2 {displaystyle n=4u^{2}} является порядком регулярной матрицы Адамара, то её избыток равен ± 8 u 3 {displaystyle pm 8u^{3}} , а суммы строк и столбцов равны ± 2 u {displaystyle pm 2u} . Отсюда следует, что каждая строка имеет 2 u 2 ± u {displaystyle 2u^{2}pm u} положительных элементов и 2 u 2 ∓ u {displaystyle 2u^{2}mp u} отрицательных. Из ортогональности строк следует, что любые две различные строки имеют в точности u 2 ± u {displaystyle u^{2}pm u} общих положительных элемента. Если H интерпретировать как матрицу инцидентности блок-дизайна, когда 1 представляет смежность, а −1 представляет неинцидентность, то матрица H соответствует симметричному 2 − ( v , k , λ ) {displaystyle 2-(v,k,lambda )} дизайну с параметрами ( 4 u 2 , 2 u 2 ± u , u 2 ± u ) {displaystyle (4u^{2},2u^{2}pm u,u^{2}pm u)} . Дизайн с этими параметрами называется дизайном Менона.

Построение

Известно несколько методов построения регулярных матриц Адамара и было проведено несколько исчерпывающих компьютерных поисков для регулярных матриц Адамара с определёнными группами симметрии, но не известно, каждый ли полный чётный квадрат есть порядок регулярной матрицы Адамара. Матрицы Адамара типа Буша являются регулярными матрицами Адамара специального вида и связаны с конечными проективными плоскостями.

История и наименование

Подобно более общим матрицам Адамара, регулярные матрицы Адамара названы именем Жака Адамара. Дизайн Менона назван именем индийского математика П. Кишава Менона, а матрицы Адамара типа Буша названы именем Кеннета А. Буша.