14.05.2022

Однородное пространство


Однородное пространство неформально можно описать, как пространство, в котором все точки одинаковы, то есть существует симметрия пространства, переводящая любую точку в другую. Определение довольно общее и имеет несколько вариантов. Однородное пространство включает в себя пространства классической геометрии, такие как евклидово пространство, пространство Лобачевского, аффинное пространство, проективное пространство и другие.

Определение

Однородное пространство — множество X с выделенным транзитивным действием группы G.

  • Элементы X называются точками однородного пространства.
  • Элементы G называются симметриями пространства, а сама группа G называется группой движений или основной группой однородного пространства.
  • Подгруппа H x < G {displaystyle H_{x}<G} , фиксирующая элемент x ∈ X {displaystyle xin X} , называется стабилизатором x {displaystyle x} .
  • Если множество X наделено дополнительной структурой, например, метрикой, топологией или гладкой структурой, то обычно предполагается, что действие G сохраняет эту структуру. Например, в случае метрики действие предполагается изометрическим. Аналогично, если X является гладким многообразием, то элементы группы являются диффеоморфизмами.

Свойства

  • Все стабилизаторы являются сопряжёнными подгруппами.
  • Однородное пространство с основной группой G можно отождествить с левыми классами смежности стабилизатора H. В этом случае левое действие G на себе порождает действие на пространстве классов смежности G/H.

Примеры

Метрические пространства
  • Евклидово пространство E n {displaystyle mathbb {E} ^{n}} с действием группы изометрий; стабилизатором этого действия является группа O ( n ) {displaystyle mathrm {O} (n)} ортогональных преобразований.
  • Стандартная сфера S n {displaystyle mathbb {S} ^{n}} со следующими действиями:
    • Группы O ( n ) {displaystyle mathrm {O} (n)} ортогональных преобразований; стабилизатор этого действия изоморфен группе O ( n − 1 ) {displaystyle mathrm {O} (n-1)} .
    • Группы S O ( n ) {displaystyle mathrm {SO} (n)} — специальной ортогональной группы; стабилизатор этого действия изоморфен группе S O ( n − 1 ) {displaystyle mathrm {SO} (n-1)} .
  • Пространство Лобачевского с действием группы Лоренца.
  • Антидеситтеровское пространство: A d S n + 1 = O ( 2 , n ) / O ( 1 , n ) {displaystyle mathrm {AdS} _{n+1}=mathrm {O} (2,n)/mathrm {O} (1,n)} .
  • Грассманиан: G r ( r , n ) = O ( n ) / ( O ( r ) × O ( n − r ) ) {displaystyle mathrm {Gr} (r,n)=mathrm {O} (n)/(mathrm {O} (r) imes mathrm {O} (n-r))} .
Другие
  • Аффинное пространство (для аффинной группы, точечный стабилизатор полной линейной группы): A n = A f f ( n , K ) / G L ( n , k ) {displaystyle mathbf {A} ^{n}=mathrm {Aff} (n,K)/mathrm {GL} (n,k)} .
  • Топологические векторные пространства (в топологическом смысле).

Вариации и обобщения

  • Метрическое пространство X {displaystyle X} называется n {displaystyle n} точечно однородным, если изометрического отображения n {displaystyle n} -точечно подмножества K ⊂ X {displaystyle Ksubset X} в X {displaystyle X} можно продолжить до изометрии X {displaystyle X}
  • Аналогично определяются конечно однородные, счётно однородные, компактно однородные пространства и так далее.
  • Двойное фактор-пространство G / / H {displaystyle G/!/H} — фактор группы G {displaystyle G} по подгруппе H < G × G {displaystyle H<G imes G} , действующей на G {displaystyle G} справа и слева.
  • Предоднородные векторные пространства — конечномерное векторное пространство V с действием алгебраической группы G такое, что существует орбита G, открытая в топологии Зарисского (а потому плотная). Примером является группа GL(1), действующая в одномерном пространстве. Идею предоднородных векторных пространств предложил Микио Сато.

Похожие новости:

Конечномерное пространство

Конечномерное пространство
Конечномерное пространство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует

Трёхмерное пространство

Трёхмерное пространство
Трёхмерное пространство — геометрическая модель материального мира. Это пространство называется трёхмерным, так как оно имеет три однородных измерения — длину, ширину и высоту, то есть трёхмерное

Теорема Борсука — Улама

Теорема Борсука — Улама
Теорема Борсука — Улама — классическая теорема алгебраической топологии, утверждающая, что всякая непрерывная функция, отображающая n {displaystyle n}

Анатомия холки (часть 2)

Анатомия холки (часть 2)
В области холки располагаются многочисленные щелевидные пространства, имеющие большое значение с клинической точки зрения, так как в них скопляется и по ним распространяется гнойный эксудат. Из них
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Учимся петь высокие ноты: как быстро достичь успеха?
Учимся петь высокие ноты: как быстро достичь успеха?
У многих, кто старается научиться петь, возникают сложности в процессе пения высоких нот. Иногда...
Какую выгоду предусматривает строительство дома под ключ?
Какую выгоду предусматривает строительство дома под ключ?
Чтобы получить долговечное и надежное жилье, коммерческое или промышленное помещение, мало одного...
Гидравлическая тележка с подъемной платформой – конструкция, применение
Гидравлическая тележка с подъемной платформой – конструкция, применение
Тележки гидравлического типа – это золотая середина между доступными в ценовом плане механическими...
Все новости