28.01.2022

Эллипсоид


Эллипсоид — поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей. Каноническое уравнение эллипсоида в декартовых координатах, совпадающих с осями деформации эллипсоида:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 , {displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}+{frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,} где a , b , c {displaystyle a,b,c} — произвольные положительные числа.

Величины a, b, c называют полуосями эллипсоида. Эллипсоид представляет собой одну из возможных форм поверхностей второго порядка.

В случае, когда пара полуосей имеет одинаковую длину, эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Такой эллипсоид называют эллипсоидом вращения или сфероидом.

Эллипсоид более точно, чем сфера, отражает идеализированную поверхность Земли.

Параметрическое уравнение эллипсоида

x = a sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( φ ) , y = b sin ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( φ ) , z = c cos ⁡ ( θ ) , {displaystyle {egin{aligned}x&=asin( heta )cos(varphi ),y&=bsin( heta )sin(varphi ),z&=ccos( heta ),end{aligned}},!}

где

0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ < 2 π . {displaystyle 0leq heta leq pi ,qquad 0leq varphi <2pi .}

Площадь поверхности эллипсоида вращения:

S = 4 π b 2 ( 1 + 2 3 e 2 + 3 5 e 4 + 4 7 e 6 + . . . + k + 1 2 k + 1 e 2 k + . . . ) . {displaystyle S=4pi b^{2}left(1+{frac {2}{3}}e^{2}+{frac {3}{5}}e^{4}+{frac {4}{7}}e^{6}+...+{frac {k+1}{2k+1}}e^{2k}+... ight).}

В элементарных функциях:

S o b l a t e = 2 π a 2 ( 1 + 1 − e 2 e a r t h e ) , e 2 = 1 − c 2 a 2 ( c < a ) , {displaystyle S_{ m {oblate}}=2pi a^{2}left(1+{frac {1-e^{2}}{e}}mathrm {arth} ,e ight)quad {mbox{,}}quad e^{2}=1-{frac {c^{2}}{a^{2}}}quad (c<a),} S p r o l a t e = 2 π a 2 ( 1 + c a e sin − 1 ⁡ e ) , e 2 = 1 − a 2 c 2 ( c > a ) , {displaystyle S_{ m {prolate}}=2pi a^{2}left(1+{frac {c}{ae}}sin ^{-1}e ight)quad qquad {mbox{,}};quad e^{2}=1-{frac {a^{2}}{c^{2}}}quad (c>a),}

Oblate, prolate — сплюснутый и вытянутый соответственно.

Также эллипсоидом называют тело, ограниченное поверхностью эллипсоида. Объём эллипсоида:

V = 4 3 π a b c . {displaystyle V={frac {4}{3}}pi abc.}
  • Вытянутый эллипсоид вращения

  • Сплюснутый эллипсоид вращения

  • Сплюснутый эллипсоид вращения и его образующая

  • Трехосный эллипсоид с различными длинами полуосей


Похожие новости:

Трёхмерное пространство

Трёхмерное пространство
Трёхмерное пространство — геометрическая модель материального мира. Это пространство называется трёхмерным, так как оно имеет три однородных измерения — длину, ширину и высоту, то есть трёхмерное

Световое эхо

Световое эхо
Световое эхо — феномен, наблюдаемый в астрономии. По аналогии со звуковым эхо, световое эхо возникает при внезапной вспышке света (например, при вспышках новых), когда свет отражается от объектов вне

Фёдоровский столик

Фёдоровский столик
Фёдоровский столик (также столик Фёдорова, универсальный столик) — вращающееся устройство, располагаемое на предметном столе поляризационного микроскопа (или в качестве единого предметного стола),

Минимальная поверхность Бура

Минимальная поверхность Бура
Минимальная поверхность Бура — это двухмерная минимальная поверхность, вложенная с самопересечениями в трёхмерное евклидово пространство. Поверхность названа именем Эдмонда Бура, работа которого о
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Преимущества аренды контейнера
Преимущества аренды контейнера
Аренда контейнера для хранения вещей — это инновационная услуга, которая в нашем государстве стала...
Регистрация товарных знаков в Санкт-Петербурге
Регистрация товарных знаков в Санкт-Петербурге
Товарный знак является одним из важнейших средств обособления товаров, профессий и сервиса. В...
Разделочные доски из акрилового камня – невероятная долговечность и практичность
Разделочные доски из акрилового камня – невероятная долговечность и практичность
На каждой кухне есть определенные неизменные атрибуты, в которых постоянно возникает необходимость...
Все новости