03.01.2022

Принцип аргумента


Принципом аргумента в комплексном анализе называют следующую теорему:

Теорема. Если функция f {displaystyle f} мероморфна в замыкании некоторой односвязной ограниченной области G {displaystyle G} с гладкой границей ∂ G {displaystyle partial G} и не имеет на её границе ни нулей, ни полюсов, то справедлива следующая формула:

N − P = 1 2 π i ∫ ∂ G d f f = 1 2 π Δ ∂ G arg f {displaystyle N-P={1 over 2pi i}int limits _{partial G}{df over f}={1 over 2pi }Delta _{partial G},operatorname {arg} ,f} ,

где N {displaystyle N} и P {displaystyle P} — количества соответственно нулей и полюсов функции f {displaystyle f} в G {displaystyle G} , учтённых каждый с его кратностью, а Δ ∂ G arg f {displaystyle Delta _{partial G},operatorname {arg} ,f} — изменение аргумента f ( z ) {displaystyle f(z)} при обходе вдоль контура области G {displaystyle G} (ориентация контура стандартная).

Доказательство

Пусть f ( z ) = ( z − a ) k g ( z ) {displaystyle f(z)=(z-a)^{k}g(z)} , причём функция g {displaystyle g} голоморфна в точке a {displaystyle a} и не равна в ней нулю (точка a {displaystyle a} из области G {displaystyle G} ). Тогда

d f f = k d z z − a + d g g {displaystyle {df over f}=k{dz over z-a}+{dg over g}} .

Так как 1-форма d g g {displaystyle {frac {dg}{g}}} голоморфна в точке a {displaystyle a} , её вычет в этой точке равен нулю, и вычет формы d f f {displaystyle {frac {df}{f}}} в точке a {displaystyle a} равен k {displaystyle k} , то есть он равен порядку нуля (или минус порядку полюса) функции f {displaystyle f} в этой точке.

Используя эти соображения и основную теорему о вычетах, интеграл в формулировке теоремы можно вычислить явно:

1 2 π i ∫ ∂ G d f f = ∑ a res a ⁡ d f f = N − P {displaystyle {1 over 2pi i}int limits _{partial G}{df over f}=sum limits _{a}operatorname {res} _{a}{df over f}=N-P} .

Таким образом, первая половина формулы доказана.

Чтобы доказать вторую половину формулы, проведём простой разрез Γ {displaystyle Gamma } внутри области G {displaystyle G} , проходящий через все нули и полюса функции f {displaystyle f} , и выходящий на границу области G {displaystyle G} в некоторой точке z 0 {displaystyle z_{0}} . Область с разрезом G {displaystyle G} Γ {displaystyle Gamma } теперь односвязна, и замкнутая 1-форма d f f {displaystyle {frac {df}{f}}} не имеет особенностей внутри неё и на контуре ∂ G {displaystyle partial G} , и значит точна в G ¯ ∖ Γ {displaystyle {overline {G}}setminus Gamma } , то есть допускает там первообразную F ( z ) {displaystyle F(z)} . Функция F ( z ) {displaystyle F(z)} будет первообразной для формы d f f {displaystyle {frac {df}{f}}} также и вдоль контура области G {displaystyle G} с выколотой точкой z 0 {displaystyle z_{0}} . Поэтому можно применить формулу Ньютона-Лейбница:

∫ ∂ G d f f = ∫ ∂ G ∖ { z 0 } d F = F ( z 0 − 0 ) − F ( z 0 + 0 ) {displaystyle int limits _{partial G}{df over f}=int limits _{partial Gsetminus {z_{0}}}dF=F(z_{0}-0)-F(z_{0}+0)} .

Так как d F = d f f = d ( ln ⁡ f ) {displaystyle dF={frac {df}{f}}=d(ln f)} , то функция F ( z ) {displaystyle F(z)} с точностью до константы совпадает с некоторой однозначной ветвью логарифма функции f {displaystyle f} , и поэтому справедливо равенство:

F ( z ) = ln ⁡ | f ( z ) | + i arg ⁡ f ( z ) + c o n s t {displaystyle F(z)=ln |f(z)|+iarg f(z)+{ m {const}}} .

Подставляя это выражение в формулу Ньютона-Лейбница, окончательно получаем:

∫ ∂ G d f f = F ( z 0 − 0 ) − F ( z 0 + 0 ) = i ( arg ⁡ f ( z 0 − 0 ) − arg ⁡ f ( z 0 + 0 ) ) = i Δ ∂ G arg ⁡ f {displaystyle int limits _{partial G},{frac {df}{f}}=F(z_{0}-0)-F(z_{0}+0)=i(arg f(z_{0}-0)-arg f(z_{0}+0))=iDelta _{partial G}arg f} .

Похожие новости:

Теорема Каулинга

Теорема Каулинга
Теорема Каулинга — теорема о невозможности стационарного осесимметричного МГД-динамо. Другими словами, двумерные или осесимметричные поля скорости проводящей жидкости не могут генерировать постоянно

Теорема Безу

Теорема Безу
Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена P ( x ) {displaystyle P(x)} на двучлен (

Многозначная функция

Многозначная функция
Многозначная функция — обобщение понятия функции, допускающее наличие нескольких значений функции для одного аргумента. Определение Функция F {displaystyle

Список интегралов элементарных функций

Список интегралов элементарных функций
Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе. В отличие от операции дифференцирования, интеграл от элементарной функции может не быть элементарной функцией. Например,
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Жилой квартал Лесопарковый в Челябинске: отличительные особенности
Жилой квартал Лесопарковый в Челябинске: отличительные особенности
Подобрать квартиру в Челябинске с первого раза могут только люди, не предъявляющие особых...
Стоимость дизайн-проекта интерьера в Краснодарской студии
Стоимость дизайн-проекта интерьера в Краснодарской студии
Дизайн-проект реализует определенные задачи. Он формирует комфортное помещение для жизни,...
Тепловые пункты: преимущества установок и где заказать их изготовление
Тепловые пункты: преимущества установок и где заказать их изготовление
Тепловой пункт представляет собой комплекс устройств, предназначенных для поставки тепловой энергии...
Все новости