Задача о покрытии полосками

Задача о покрытии полосками — классическая задача комбинаторной геометрии. В простейшем случае звучит так:

Доказать, что круг диаметра d {displaystyle d} нельзя покрыть полосками с общей шириной меньше d {displaystyle d} .

Задача о покрытии полосками известна как пример задачи, в которой при решении удобно перейти к рассмотрению высших размерностей.

О доказательстве

В трёхмерном варианте задачи вместо полосок берутся области между параллельными плоскостями. Решение этого варианта задачи легко следует из того, что площадь боковой поверхности шарового слоя зависит только от его высоты. В частности, сферу нельзя покрыть слоями с общей толщиной, меньшей диаметра сферы, а значит, нельзя и шар.

Из этого наблюдения немедленно следует двумерный случай. Это решение было предложено Гуго Штейнгаузом.

Вариации и обобщения

• В 1932 году Тарский выдвинул гипотезу, что если выпуклую фигуру можно покрыть полосками с общей шириной 1, то её можно покрыть одной полоской ширины 1. Утвердительный ответ получен Тёгером Бангом в 1951 году.

• Следующий вариант задачи про относительную ширину полосок был предложен Бангом:

Предположим, выпуклое тело K {displaystyle K} покрыто конечным числом полосок с ширинами w 1 , … , w n {displaystyle w_{1},dots ,w_{n}} , и v 1 , … , v n {displaystyle v_{1},dots ,v_{n}} есть ширины K {displaystyle K} в соответствующих направлениях. Доказать, что w 1 v 1 + ⋯ + w n v n ≥ 1. {displaystyle {frac {w_{1}}{v_{1}}}+dots +{frac {w_{n}}{v_{n}}}geq 1.}