29.12.2021

Задача о покрытии полосками


Задача о покрытии полосками — классическая задача комбинаторной геометрии. В простейшем случае звучит так:

Доказать, что круг диаметра d {displaystyle d} нельзя покрыть полосками с общей шириной меньше d {displaystyle d} .

Задача о покрытии полосками известна как пример задачи, в которой при решении удобно перейти к рассмотрению высших размерностей.


О доказательстве

В трёхмерном варианте задачи вместо полосок берутся области между параллельными плоскостями. Решение этого варианта задачи легко следует из того, что площадь боковой поверхности шарового слоя зависит только от его высоты. В частности, сферу нельзя покрыть слоями с общей толщиной, меньшей диаметра сферы, а значит, нельзя и шар.

Из этого наблюдения немедленно следует двумерный случай. Это решение было предложено Гуго Штейнгаузом.

Вариации и обобщения

  • В 1932 году Тарский выдвинул гипотезу, что если выпуклую фигуру можно покрыть полосками с общей шириной 1, то её можно покрыть одной полоской ширины 1. Утвердительный ответ получен Тёгером Бангом в 1951 году.
  • Следующий вариант задачи про относительную ширину полосок был предложен Бангом:
Предположим, выпуклое тело K {displaystyle K} покрыто конечным числом полосок с ширинами w 1 , … , w n {displaystyle w_{1},dots ,w_{n}} , и v 1 , … , v n {displaystyle v_{1},dots ,v_{n}} есть ширины K {displaystyle K} в соответствующих направлениях. Доказать, что w 1 v 1 + ⋯ + w n v n ≥ 1. {displaystyle {frac {w_{1}}{v_{1}}}+dots +{frac {w_{n}}{v_{n}}}geq 1.}

Похожие новости:

Лингвистическая задача

Лингвистическая задача
Лингвистическая задача — задача, моделирующая деятельность лингвиста, для решения которой не требуется владение языком задачи (все материалы, существенные для решения, есть в условии). Бывает разных

Теорема Безу

Теорема Безу
Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена P ( x ) {displaystyle P(x)} на двучлен (

Теорема Борсука — Улама

Теорема Борсука — Улама
Теорема Борсука — Улама — классическая теорема алгебраической топологии, утверждающая, что всякая непрерывная функция, отображающая n {displaystyle n}

Теорема о равнобедренном треугольнике

Теорема о равнобедренном треугольнике
Теорема о равнобедренном треугольнике — классическая теорема геометрии, утверждающая, что углы, противолежащие боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны. Эта теорема появляется как
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Монтаж и настройка системы пожарной безопасности
Монтаж и настройка системы пожарной безопасности
Монтаж и настройка работы пожарной сигнализации на крупном объекте осуществляется только после...
Стеллажные системы для производственных предприятий
Стеллажные системы для производственных предприятий
В условиях промышленного производства, в отличие от специализированных складских комплексов,...
Бурение скважин на воду
Бурение скважин на воду
Профессиональное бурение скважин — это быстро, недорого и качественно. Специальное оборудование...
Все новости