Конечномерное пространство

Конечномерное пространство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.

Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.

Свойства конечномерных пространств

Всякий элемент x {displaystyle x} конечномерного пространства X {displaystyle X} представим единственным образом в виде

x = a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n , {displaystyle x=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+...+a_{n}e_{n},}

a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ P {displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}in mathbb {P} } где P {displaystyle mathbb {P} } — поле (часто R {displaystyle mathbb {R} } или C {displaystyle mathbb {C} } ), над которым рассматривается пространство X {displaystyle X} , e 1 , e 2 , . . . , e n ∈ X {displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n}in X} — элементы базиса. Это следует из определения базиса.

Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта.

• Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов. Это свойство даёт корректность определения размерности пространства.
• Пусть X {displaystyle X} — конечномерное пространство и { x 1 , x 2 , . . . , x k } {displaystyle {x_{1},x_{2},...,x_{k}}} — линейно-независимая система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до базиса.
• Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
• В любом конечномерном пространстве над полем R {displaystyle mathbb {R} } можно ввести скалярное произведение. Например, в пространстве X {displaystyle X} с фиксированным базисом, размерности n {displaystyle n} , можно ввести скалярное произведение по правилу:
  ∀ x 1 , x 2 ∈ X , ( x 1 , x 2 ) = ∑ k = 1 n a k ⋅ b k {displaystyle forall x_{1},x_{2}in X,(x_{1},x_{2})=sum _{k=1}^{n}a_{k}cdot b_{k}} , где { a k } , { b k } {displaystyle {a_{k}},{b_{k}}} — компоненты векторов x 1 {displaystyle x_{1}} и x 2 {displaystyle x_{2}} соответственно.
  Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве над полем R {displaystyle mathbb {R} } можно ввести норму и метрику. Как следствие, можно получить что:
  • X {displaystyle X} — рефлексивное пространство.
  • Пространство X ∗ {displaystyle X^{*}} , сопряжённое к некоторому конечномерному пространству X {displaystyle X} , конечномерно и его размерность совпадает с размерностью X {displaystyle X} .
  • Для любого подпространства M ⊂ X {displaystyle Msubset X} конечномерного пространства X {displaystyle X} существует подпространство M ⊥ ⊂ X {displaystyle M^{perp }subset X} такое, что ∀ x ∈ M , ∀ y ∈ M ⊥ , x ⊥ y {displaystyle forall xin M,forall yin M^{perp },xperp y} и X {displaystyle X} разлагается в прямую сумму M {displaystyle M} и M ⊥ {displaystyle M^{perp }} , X = M ⊕ M ⊥ {displaystyle X=Moplus M^{perp }} .
• В евклидовом пространстве каждая слабо сходящаяся последовательность сходится сильно.
• Все нормы в конечномерном пространстве над полем R {displaystyle mathbb {R} } эквивалентны. Сходимость в евклидовом пространстве эквивалентна покоординатной сходимости.
• Каждый линейный непрерывный оператор в конечномерном пространстве можно представить в виде матрицы.
• Пространство X {displaystyle X} над полем R {displaystyle mathbb {R} } является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный оператор I : X → X {displaystyle I:X ightarrow X} является вполне непрерывным.
• Пространство X {displaystyle X} является конечномерным тогда и только тогда, когда найдется действующий над X {displaystyle X} обратимый вполне непрерывный оператор.
• Пространство X {displaystyle X} является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный шар в X {displaystyle X} предкомпактен. Это свойство можно переформулировать следующим образом: пространство X {displaystyle X} является конечномерным тогда и только тогда, когда любое ограниченное в X {displaystyle X} множество предкомпактно.
• Всякий линейный оператор A : X → Y {displaystyle A:X ightarrow Y} , определённый в конечномерном пространстве X {displaystyle X} является непрерывным и даже вполне непрерывным.
• В конечномерном пространстве, каждый оператор является унитарным тогда и только тогда, когда он изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение.

Примеры

• Евклидово пространство E 3 {displaystyle mathbb {E} ^{3}} имеет размерность 3, за его базис можно выбрать тройку векторов

{ ( 1 0 0 ) , ( 0 1 0 ) , ( 0 0 1 ) } {displaystyle left{{egin{pmatrix}1end{pmatrix}},{egin{pmatrix}01end{pmatrix}},{egin{pmatrix}01end{pmatrix}} ight}}

Более общий случай — пространства R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} размерности n. Норму в них обычно задают одним из следующих способов ( 1 ≤ p < ∞ {displaystyle 1leq p<infty } ):

‖ x ‖ p = ∑ i = 1 n | x i | p p {displaystyle |x|_{p}={sqrt[{p}]{sum _{i=1}^{n}{|x_{i}|^{p}}}}} или ‖ x ‖ ∞ = max i = 1 , 2 , … , n | x i | . {displaystyle |x|_{infty }=max _{i=1,2,dots ,n}{|x_{i}|}.}

Если ввести норму ‖ x ‖ 2 {displaystyle |x|_{2}} и скалярное произведение ( x , y ) = ∑ i = 1 n x i y i , {displaystyle (x,y)={sqrt {sum _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}},} то пространство будет евклидовым.

• P n {displaystyle P^{n}} — пространство всех многочленов степени не выше n {displaystyle n} . Размерность этого пространства n + 1 {displaystyle n+1} . Многочлены 1 , x , x 2 , . . . , x n {displaystyle 1,x,x^{2},...,x^{n}} образуют в нём базис.
• Пусть X {displaystyle X} — произвольное линейное пространство и пусть { x 1 , x 2 , . . . , x n } {displaystyle {x_{1},x_{2},...,x_{n}}} некоторая линейно-независимая система векторов. Тогда линейная оболочка, натянутая на эту систему есть конечномерное пространство.