Теорема Безу


Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена P ( x ) {displaystyle P(x)} на двучлен ( x − a ) {displaystyle (x-a)} равен P ( a ) {displaystyle P(a)} .

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство

Поделим с остатком многочлен P ( x ) {displaystyle P(x)} на двучлен x − a {displaystyle x-a} :

P ( x ) = ( x − a ) Q ( x ) + R ( x ) , {displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)+R(x),}

где R ( x ) {displaystyle R(x)} — остаток. Так как deg ⁡ R ( x ) < deg ⁡ ( x − a ) = 1 {displaystyle deg R(x)<deg(x-a)=1} , то R ( x ) {displaystyle R(x)} — многочлен степени не выше 0, то есть константа, обозначим её за r {displaystyle r} . Подставляя x = a {displaystyle x=a} , поскольку ( a − a ) Q ( a ) = 0 {displaystyle (a-a)Q(a)=0} , имеем P ( a ) = R ( x ) = r {displaystyle P(a)=R(x)=r} .

Следствия

  • Число a {displaystyle a} является корнем многочлена p ( x ) {displaystyle p(x)} тогда и только тогда, когда p ( x ) {displaystyle p(x)} делится без остатка на двучлен x − a {displaystyle x-a} (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена P ( x ) {displaystyle P(x)} тождественно множеству корней соответствующего уравнения P ( x ) = 0 {displaystyle P(x)=0} ).
  • Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
  • Пусть a {displaystyle a} — целый корень приведённого многочлена A ( x ) {displaystyle A(x)} с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k {displaystyle k} число A ( k ) {displaystyle A(k)} кратно a − k {displaystyle a-k} .

Приложения

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.


Похожие новости:

Список интегралов элементарных функций

Список интегралов элементарных функций
Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе. В отличие от операции дифференцирования, интеграл от элементарной функции может не быть элементарной функцией. Например,

Теорема Борсука — Улама

Теорема Борсука — Улама
Теорема Борсука — Улама — классическая теорема алгебраической топологии, утверждающая, что всякая непрерывная функция, отображающая n {displaystyle n}

Бабий узел (теория узлов)

Бабий узел (теория узлов)
В теории узлов бабий узел — это составной узел, полученный соединением двух одинаковых трилистников. Узел тесно связан с прямым узлом, который тоже можно описать как соединение двух трилистников.

Список интегралов элементарных функций

Список интегралов элементарных функций
Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе. В отличие от операции дифференцирования, интеграл от элементарной функции может не быть элементарной функцией. Например,
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные статьи
Охранное предприятие в Москве – защита и надежность
Охранное предприятие в Москве – защита и надежность
В современном мире, где угрозы личной безопасности и сохранности имущества становятся все более...
Особенности выбора мебели: секреты правильного подбора для интерьера
Особенности выбора мебели: секреты правильного подбора для интерьера
При обустройстве интерьера дома или офиса одним из самых важных аспектов является выбор мебели....
Как купить квартиру в Крыму на стадии котлована: порядок действий и нюансы сделки
Как купить квартиру в Крыму на стадии котлована: порядок действий и нюансы сделки
Инвестирование в недвижимость в Крыму становится все более привлекательным вариантом для тех, кто...
Все новости