Теорема Безу
Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена P ( x ) {displaystyle P(x)} на двучлен ( x − a ) {displaystyle (x-a)} равен P ( a ) {displaystyle P(a)} .
Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).
Доказательство
Поделим с остатком многочлен P ( x ) {displaystyle P(x)} на двучлен x − a {displaystyle x-a} :
P ( x ) = ( x − a ) Q ( x ) + R ( x ) , {displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)+R(x),}где R ( x ) {displaystyle R(x)} — остаток. Так как deg R ( x ) < deg ( x − a ) = 1 {displaystyle deg R(x)<deg(x-a)=1} , то R ( x ) {displaystyle R(x)} — многочлен степени не выше 0, то есть константа, обозначим её за r {displaystyle r} . Подставляя x = a {displaystyle x=a} , поскольку ( a − a ) Q ( a ) = 0 {displaystyle (a-a)Q(a)=0} , имеем P ( a ) = R ( x ) = r {displaystyle P(a)=R(x)=r} .
Следствия
- Число a {displaystyle a} является корнем многочлена p ( x ) {displaystyle p(x)} тогда и только тогда, когда p ( x ) {displaystyle p(x)} делится без остатка на двучлен x − a {displaystyle x-a} (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена P ( x ) {displaystyle P(x)} тождественно множеству корней соответствующего уравнения P ( x ) = 0 {displaystyle P(x)=0} ).
- Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
- Пусть a {displaystyle a} — целый корень приведённого многочлена A ( x ) {displaystyle A(x)} с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k {displaystyle k} число A ( k ) {displaystyle A(k)} кратно a − k {displaystyle a-k} .
Приложения
Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.
Добавить комментарий!