24.02.2021

Эпсилон-окрестность


ε {displaystyle varepsilon } -окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на ε {displaystyle varepsilon } .

Определения

  • Пусть ( X , ϱ ) {displaystyle (X,varrho )} есть метрическое пространство, x 0 ∈ X , {displaystyle x_{0}in X,} и ε > 0. {displaystyle varepsilon >0.} ε {displaystyle varepsilon } -окрестностью x 0 {displaystyle x_{0}} называется множество
U ε ( x 0 ) = { x ∈ X ∣ ϱ ( x , x 0 ) < ε } . {displaystyle U_{varepsilon }(x_{0})={xin Xmid varrho (x,x_{0})<varepsilon }.}
  • Проколотой ε {displaystyle varepsilon } -окрестностью точки x 0 {displaystyle x_{0}} называется её ε {displaystyle varepsilon } -окрестность без неё самой:
U ˙ ε ( x 0 ) = U ε ( x 0 ) ∖ x 0 {displaystyle {dot {U}}_{varepsilon }(x_{0})=U_{varepsilon }(x_{0})ackslash x_{0}}
  • Пусть дано подмножество A ⊂ X . {displaystyle Asubset X.} Тогда ε {displaystyle varepsilon } -окрестностью этого множества называется множество
U ε ( A ) = ⋃ x ∈ A U ε ( x ) . {displaystyle U_{varepsilon }(A)=igcup limits _{xin A}U_{varepsilon }(x).}

Замечания

  • ε {displaystyle varepsilon } -окрестностью точки x 0 {displaystyle x_{0}} таким образом называется открытый шар с центром в x 0 {displaystyle x_{0}} и радиусом ε . {displaystyle varepsilon .}
  • Прямо из определения следует, что
U ε ( A ) = { x ∈ X ∣ ∃ y ∈ A ϱ ( x , y ) < ε } . {displaystyle U_{varepsilon }(A)={xin Xmid exists yin A;varrho (x,y)<varepsilon }.}
  • ε {displaystyle varepsilon } -окрестность является окрестностью и, в частности, открытым множеством.

Примеры

Пусть есть вещественная прямая R {displaystyle mathbb {R} } со стандартной метрикой ϱ ( x , y ) = | x − y | , x , y ∈ R . {displaystyle varrho (x,y)=|x-y|,;x,yin mathbb {R} .} Тогда

  • U 2 ( 1 ) = ( − 1 , 3 ) ; {displaystyle U_{2}(1)=(-1,3);}
  • U 1 ( [ 5 , 7 ] ) = ( 4 , 8 ) . {displaystyle U_{1}([5,7])=(4,8).}

Похожие новости:

Аддитивные сет-функции и меры

Аддитивные сет-функции и меры
Сет-функция — действительная числовая функция f :  2 Ω

Марковский момент времени

Марковский момент времени
Марковский момент времени (в теории случайных процессов) — это случайная величина, не зависящая от будущего рассматриваемого случайного процесса. Дискретный случай Пусть дана последовательность

Размерность Хаусдорфа

Размерность Хаусдорфа
Размерность Хаусдорфа, или хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными

Произведение Громова

Произведение Громова
Произведение Громова — расстояние, на котором две геодезические стартующих в одной точке начинают существенно расходиться. Названо в честь Громова. Произведение Громова используется, в частности
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Перетяжка изголовья кровати – возвращение первоначальных качеств без переплат
Перетяжка изголовья кровати – возвращение первоначальных качеств без переплат
Существует достаточно много видов кроватей, поэтому выбрать подходящий вариант бывает крайне...
Как выбрать двухъярусную кровать для детей
Как выбрать двухъярусную кровать для детей
При обустройстве детской спальни родители всегда особое внимание уделяют выбору спального места –...
Как выбрать обувницу в прихожую
Как выбрать обувницу в прихожую
Правильное хранение обуви обеспечит сохранность вещей, надлежащее санитарное состояние прихожей....
Все новости