Эпсилон-окрестность

ε {displaystyle varepsilon } -окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на ε {displaystyle varepsilon } .

Определения

• Пусть ( X , ϱ ) {displaystyle (X,varrho )} есть метрическое пространство, x 0 ∈ X , {displaystyle x_{0}in X,} и ε > 0. {displaystyle varepsilon >0.} ε {displaystyle varepsilon } -окрестностью x 0 {displaystyle x_{0}} называется множество

U ε ( x 0 ) = { x ∈ X ∣ ϱ ( x , x 0 ) < ε } . {displaystyle U_{varepsilon }(x_{0})={xin Xmid varrho (x,x_{0})<varepsilon }.}

• Проколотой ε {displaystyle varepsilon } -окрестностью точки x 0 {displaystyle x_{0}} называется её ε {displaystyle varepsilon } -окрестность без неё самой:

U ˙ ε ( x 0 ) = U ε ( x 0 ) ∖ x 0 {displaystyle {dot {U}}_{varepsilon }(x_{0})=U_{varepsilon }(x_{0})ackslash x_{0}}

• Пусть дано подмножество A ⊂ X . {displaystyle Asubset X.} Тогда ε {displaystyle varepsilon } -окрестностью этого множества называется множество

U ε ( A ) = ⋃ x ∈ A U ε ( x ) . {displaystyle U_{varepsilon }(A)=igcup limits _{xin A}U_{varepsilon }(x).}

Замечания

• ε {displaystyle varepsilon } -окрестностью точки x 0 {displaystyle x_{0}} таким образом называется открытый шар с центром в x 0 {displaystyle x_{0}} и радиусом ε . {displaystyle varepsilon .}
• Прямо из определения следует, что

U ε ( A ) = { x ∈ X ∣ ∃ y ∈ A ϱ ( x , y ) < ε } . {displaystyle U_{varepsilon }(A)={xin Xmid exists yin A;varrho (x,y)<varepsilon }.}

• ε {displaystyle varepsilon } -окрестность является окрестностью и, в частности, открытым множеством.

Примеры

Пусть есть вещественная прямая R {displaystyle mathbb {R} } со стандартной метрикой ϱ ( x , y ) = | x − y | , x , y ∈ R . {displaystyle varrho (x,y)=|x-y|,;x,yin mathbb {R} .} Тогда

• U 2 ( 1 ) = ( − 1 , 3 ) ; {displaystyle U_{2}(1)=(-1,3);}
• U 1 ( [ 5 , 7 ] ) = ( 4 , 8 ) . {displaystyle U_{1}([5,7])=(4,8).}