Эквивалентность категорий

Эквивалентность категорий в теории категорий — отношение между категориями, показывающее, что две категории «по существу одинаковы». Установление эквивалентности свидетельствует о глубокой связи соответствующих математических концепций и позволяет «переносить» теоремы с одних структур на другие.

Определение

Для двух категорий C и D задана их эквивалентность, если задан функтор F : C → D, функтор G : D → C, и два естественных изоморфизма ε: FG→ID и η : IC→GF. Здесь IC: C→C и ID: D→D — тождественные функторы на C и D соответственно. Если F и G — контравариантные функторы, это определяет двойственность категорий.

Эквивалентные формулировки

Можно показать, что функтор F : C → D задаёт эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда он:

• вполне унивалентен и
• плотен, то есть в классе изоморфизма любого элемента d категории D существует объект, имеющий прообраз в C под действием F.

Это — наиболее часто применяемый критерий, так как он не требует явно сконструировать «обратный» функтор и два естественных преобразования. С другой стороны, хотя приведенное выше свойство гарантирует существование эквивалентности, часть данных теряется, так как иногда эквивалентность можно провести разными способами. Поэтому функтор F с такими свойствами иногда называют слабой эквивалентностью категорий.

Ещё одна формулировка использует понятие сопряжённых функторов: F и G задают эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда они оба вполне унивалентные и являются сопряжёнными.

Примеры

• Между категорией C {displaystyle C} из одного объекта c {displaystyle c} и одного морфизма 1 c {displaystyle 1_{c}} и категорией D {displaystyle D} из двух объектов d 1 {displaystyle d_{1}} , d 2 {displaystyle d_{2}} и четырёх морфизмов: двух тождественных 1 d 1 {displaystyle 1_{d_{1}}} , 1 d 2 {displaystyle 1_{d_{2}}} и двух изоморфизма α : d 1 → d 2 {displaystyle alpha colon d_{1} o d_{2}} , β : d 2 → d 1 {displaystyle eta colon d_{2} o d_{1}} можно установить эквивалентность, например взять F {displaystyle F} , отправляющий c {displaystyle c} в d 1 {displaystyle d_{1}} и G {displaystyle G} , отправляющий всё D {displaystyle D} в c {displaystyle c} . Однако, например, категория C {displaystyle C} не эквивалентна категории из двух объектов и двух тождественных морфизмов.
• Пусть категория C {displaystyle C} состоит из одного объекта c {displaystyle c} и двух морфизмов 1 c , f : c → c {displaystyle 1_{c},fcolon c o c} , где f ∘ f = 1 {displaystyle fcirc f=1} . Тогда f {displaystyle f} задаёт естественный изоморфизм I C {displaystyle mathbf {I} _{C}} с собой (нетривиальный, так как он действует на морфизмах не тождественным образом).
• Эквивалентны категория C {displaystyle C} конечномерных действительных векторных пространств и категория D = M a t ( R ) {displaystyle D=mathrm {Mat} (mathbb {R} )} (объекты — натуральные числа, морфизмы — матрицы соответствующей размерности): функтор F : C → D {displaystyle Fcolon C o D} сопоставляет векторному пространству его размерность (что соответствует выбору в каждом пространстве базиса).
• Одна из центральных тем алгебраической геометрии — двойственность категорий аффинных схем и коммутативных колец. Соответствующий функтор отправляет кольцо в его спектр — схему, образованную простыми идеалами.

Свойства

При эквивалентности категорий сохраняются все «категорные» свойства: например, свойство быть начальным объектом, мономорфизмом, пределом или свойство категории быть топосом.

Если F : C → D — эквивалентность категорий и G1, G2 «обратные» к F, то G1 и G2 естественно изоморфны.