11.11.2020

Дифференциальная теория Галуа


Дифференциальная теория Галуа — раздел математики, который изучает группы Галуа дифференциальных уравнений.

Предпосылки и основная идея

В 1830-х годах Лиувилль создал теорию интегрирования в элементарных функциях, важным достижением которой было доказательство невозможности взятия в элементарных функциях интегралов от таких функций, как

f ( x ) = e − x 2 , {displaystyle f(x)=e^{-x^{2}},} f ( x ) = sin ⁡ x x , {displaystyle f(x)={frac {sin x}{x}},} f ( x ) = x x , {displaystyle f(x)=x^{x},}

Нужно иметь в виду, что понятие элементарной функции — всего лишь соглашение. Если добавить функцию ошибок к классу элементарных функций, то первообразная от функции f ( x ) = e − x 2 {displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}} станет элементарной. Тем не менее, можно бесконечно расширять таким образом класс элементарных функций, но всегда будут оставаться функции, первообразные которых не относятся к элементарным.

Обобщение его идей, предпринятое в начале XX века, и привело к созданию дифференциальной теории Галуа, которая, в частности, позволяет выяснить, имеет ли функция первообразную, которая выражается через элементарные функции. Дифференциальная теория Галуа основана на теории Галуа. Алгебраическая теория Галуа исследует расширения алгебраических полей, а дифференциальная теория Галуа — расширения дифференциальных полей, то есть полей, для которых введено дифференцирование, D {displaystyle {mathcal {D}}} . В дифференциальной теории Галуа много похожего на алгебраическую теорию Галуа. Существенное различие этих построений состоит в том, что в дифференциальной теории Галуа используются матричные группы Ли, а в алгебраической теории Галуа — конечные группы.

Определения

Для любого дифференцируемого поля F {displaystyle F} есть подполе

Con ⁡ F = { f ∈ F ∣ D f = 0 } , {displaystyle operatorname {Con} F={fin Fmid {mathcal {D}}f=0},}

которое называется полем констант F {displaystyle F} . Для двух дифференциальных полей F {displaystyle F} и G {displaystyle G} поле G {displaystyle G} называется логарифмическим расширением F {displaystyle F} , если G {displaystyle G} является простым трансцендентным расширением F {displaystyle F} (то есть G = F ( t ) {displaystyle G=F(t)} для некоторого трансцендентного t {displaystyle t} ), так что

D t = D s s {displaystyle {mathcal {D}}t={frac {{mathcal {D}}s}{s}}} для некоторого s ∈ F {displaystyle sin F} .

Это разновидность логарифмической производной. Для интуитивного понимания можно представить себе t {displaystyle t} как логарифм некоторого s {displaystyle s} из F {displaystyle F} , и тогда это условие аналогично правилу взятия производной сложной функции. При этом нужно иметь в виду, что логарифм, содержащийся в F {displaystyle F} , не обязательно единственный; с ним могут соседствовать несколько различных «логарифмообразных» расширений F {displaystyle F} . Аналогично, экспоненциальным расширением называется трансцендентное расширение, которое удовлетворяет формуле

D t = t D s . {displaystyle {mathcal {D}}t=t{mathcal {D}}s.}

Таким образом можно представить себе этот элемент как экспоненту от s {displaystyle s} из F {displaystyle F} . Наконец, G {displaystyle G} называется элементарным дифференциальным расширением F {displaystyle F} , если имеется конечная цепочка подполей от F {displaystyle F} до G {displaystyle G} , где каждое расширение является алгебраическим, логарифмическим или экспоненциальным.

Примеры

Поле C ( x ) {displaystyle mathbb {C} (x)} рациональных функций одной переменной с дифференцированием по этой переменной. Константами этого поля являются комплексные числа C {displaystyle mathbb {C} } .

Основная теорема

Предположим, что F {displaystyle F} и G {displaystyle G} — дифференциальные поля, для которых Con ⁡ F = Con ⁡ G {displaystyle operatorname {Con} F=operatorname {Con} G} , и G {displaystyle G} является элементарным дифференциальным расширением F {displaystyle F} . Пусть a ∈ F {displaystyle ain F} , y ∈ G {displaystyle yin G} и, кроме того, D y = a {displaystyle {mathcal {D}}y=a} (то есть, G {displaystyle G} содержит первообразную a {displaystyle a} ). Тогда существуют c 1 , … , c n ∈ Con ⁡ F {displaystyle c_{1},dots ,c_{n}in operatorname {Con} F} , u 1 , … , u n , v ∈ F {displaystyle u_{1},dots ,u_{n},vin F} такие, что

a = c 1 D u 1 u 1 + ⋯ + c n D u n u n + D v . {displaystyle a=c_{1}{frac {{mathcal {D}}u_{1}}{u_{1}}}+dots +c_{n}{frac {{mathcal {D}}u_{n}}{u_{n}}}+{mathcal {D}}v.}

Другими словами, «элементарная первообразная» есть только у тех функций, которые имеют вид, указанный в теореме. Таким образом, теорема утверждает, что только элементарные первообразные являются «простыми» функциями, плюс конечное число логарифмов простых функций.


Похожие новости:

Дзядык, Владислав Кириллович

Дзядык, Владислав Кириллович
Владислав Кириллович Дзядык (*18 февраля 1919, Сахновщина, ныне Харьковская область — †26 октября 1998, Киев) — советский и украинский математик. Профессор, член-корреспондент НАН Украины (1969).

Трилинейная система координат

Трилинейная система координат
Трилинейные координаты тесно связаны с барицентрическими координатами. А именно, если ( α : β : γ )

Список интегралов элементарных функций

Список интегралов элементарных функций
Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе. В отличие от операции дифференцирования, интеграл от элементарной функции может не быть элементарной функцией. Например,

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии
Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит: Из этого следует, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Особенности и преимущества деревянных домов
Особенности и преимущества деревянных домов
Дома из дерева стали широко распространяться с места своего зарождения — Канады. Там создавали...
Насколько сложно обустраивать угловую кухню?
Насколько сложно обустраивать угловую кухню?
Под угловой кухней принято понимать комплект мебели, который состоит из двух модулей, которые...
Покупка надежного строительного оборудования
Покупка надежного строительного оборудования
Строительный рынок развивается очень стремительно, все это привело к тому, что строительные...
Все новости