Размерность Хаусдорфа

Размерность Хаусдорфа, или хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.

Определение

Определение размерности Хаусдорфа состоит из нескольких шагов. Пусть Ω {displaystyle Omega } — ограниченное множество в метрическом пространстве X {displaystyle X} .

ε {displaystyle varepsilon } -покрытия

Пусть ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} . Не более чем счётный набор { ω i } i ∈ I {displaystyle {omega _{i}}_{iin I}} подмножеств пространства X {displaystyle X} будем называть ε {displaystyle varepsilon } -покрытием множества Ω {displaystyle Omega } , если выполнены следующие два свойства:

• Ω ⊂ ⋃ i ∈ I ω i {displaystyle Omega subset igcup _{iin I}omega _{i}}
• для любого i ∈ I {displaystyle iin I} : | ω i | < ε {displaystyle |omega _{i}|<varepsilon } (здесь и далее | ω | {displaystyle |omega |} означает диаметр множества ω {displaystyle omega } ).

α {displaystyle alpha } -мера Хаусдорфа

Пусть α > 0 {displaystyle alpha >0} . Пусть Θ = { ω i } i ∈ I {displaystyle Theta ={omega _{i}}_{iin I}} — покрытие множества Ω {displaystyle Omega } . Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: F α ( Θ ) := ∑ i ∈ I | ω i | α {displaystyle F_{alpha }(Theta ):=sum limits _{iin I}|omega _{i}|^{alpha }} .

Обозначим через M α ε ( Ω ) {displaystyle M_{alpha }^{varepsilon }(Omega )} «минимальный размер» ε {displaystyle {varepsilon }} -покрытия множества Ω {displaystyle Omega } : M α ε ( Ω ) := inf ( F α ( Θ ) ) {displaystyle M_{alpha }^{varepsilon }(Omega ):=inf(F_{alpha }(Theta ))} , где инфимум берётся по всем ε {displaystyle varepsilon } -покрытиям множества Ω {displaystyle Omega } .

Очевидно, что функция M α ε ( Ω ) {displaystyle M_{alpha }^{varepsilon }(Omega )} (нестрого) возрастает при уменьшении ε {displaystyle varepsilon } , поскольку при уменьшении ε {displaystyle varepsilon } мы только сжимаем множество возможных ε {displaystyle varepsilon } -покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при ε → 0 + {displaystyle varepsilon ightarrow 0+} :

M α ( Ω ) = lim ε → 0 + M α ε ( Ω ) {displaystyle M_{alpha }(Omega )=lim limits _{varepsilon ightarrow 0+}M_{alpha }^{varepsilon }(Omega )} .

Величина M α ( Ω ) {displaystyle M_{alpha }(Omega )} называется α {displaystyle alpha } -мерой Хаусдорфа множества Ω {displaystyle Omega } .

Свойства α {displaystyle alpha } -меры Хаусдорфа

• α {displaystyle alpha } -мера Хаусдорфа является борелевской мерой на X {displaystyle X} .
• с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; d {displaystyle d} -мера Хаусдорфа множеств в R d {displaystyle mathbb {R} ^{d}} совпадает с их d {displaystyle d} -мерным объёмом.
• M α ( Ω ) {displaystyle M_{alpha }(Omega )} убывает по α {displaystyle alpha } . Более того, для любого множества Ω {displaystyle Omega } существует критическое значение α 0 {displaystyle alpha _{0}} , такое, что:
  • M α ( Ω ) = + ∞ {displaystyle M_{alpha }(Omega )=+infty } для всех α < α 0 {displaystyle alpha <alpha _{0}}
  • M α ( Ω ) = 0 {displaystyle M_{alpha }(Omega )=0} для всех α > α 0 {displaystyle alpha >alpha _{0}}

Значение M α 0 ( Ω ) {displaystyle M_{alpha _{0}}(Omega )} может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.

Определение размерности Хаусдорфа

Размерностью Хаусдорфа dim H ⁡ Ω {displaystyle dim _{H}Omega } множества Ω {displaystyle Omega } называется число α 0 {displaystyle alpha _{0}} из предыдущего пункта.

Примеры

Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на n {displaystyle n} частей, подобных исходному множеству с коэффициентами r 1 , r 2 , … , r n {displaystyle r_{1},r_{2},dots ,r_{n}} , то его размерность s {displaystyle s} является решением уравнения r 1 s + r 2 s + ⋯ + r n s = 1 {displaystyle r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+dots +r_{n}^{s}=1} . Например,

• размерность множества Кантора равна ln ⁡ 2 / ln ⁡ 3 {displaystyle ln 2/ln 3} (разбивается на две части, коэффициент подобия 1/3),
• размерность треугольника Серпинского — ln ⁡ 3 / ln ⁡ 2 {displaystyle ln 3/ln 2} (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2),
• размерность кривой дракона — 2 {displaystyle 2} (разбивается на 2 части, коэффициент подобия 1 / 2 {displaystyle {sqrt {1/2}}} ).

Свойства

• Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского.
• Размерность Хаусдорфа не более чем счётного объединения множеств равна максимуму из их размерностей.
  • В частности, добавление счётного множества к любому множеству не меняет его размерности.
• Для произвольных метрических пространств X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} выполняется соотношение dim H ⁡ ( X × Y ) ≥ dim H ⁡ ( X ) + dim H ⁡ ( Y ) . {displaystyle dim _{H}(X imes Y)geq dim _{H}(X)+dim _{H}(Y).}
  • Для некоторых пар X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} неравенство строгое, более того такую пару можно выбрать из компактных подмножеств вещественной прямой.