09.11.2020

4-вектор


4-вектор (четыре-вектор, четырёхвектор) — вектор в четырёхмерном пространстве Минковского. Координаты 4-вектора при переносе или повороте системы отсчёта преобразуются как соответствующие им координаты в пространстве Минковского. В 4-векторе одна временная компонента и три пространственных. Пространственные компоненты составляют обычный пространственный трёхмерный вектор и преобразуются в соответствии с этим при преобразовании пространственных координат, не затрагивающих временной, то есть при преобразованиях координат, не включающих физического движения новой системы отсчёта относительно прежней.

  • В современных обозначениях временной компоненте обычно соответствует индекс 0 (то есть она считается нулевой компонентой), пространственным: 1, 2, 3 — совпадающим с x, y, z (обычно, по умолчанию и если возможно, это обычные прямоугольные декартовы координаты). В старой литературе часто используется соглашение (восходящее к Минковскому), по которому временная компонента считалась не нулевой, а четвёртой.
  • Иногда бывает удобно приписывать временной компоненте 4-вектора чисто мнимый характер (всегда умножать действительную временную компоненту на мнимую единицу). Такое представление 4-векторов было исторически введено первым и иногда — в силу своего удобства — используется и в современной литературе.
  • 4-векторы (их компонентное представление) могут быть записаны в контравариантной и (или) ковариантной форме (см. ниже), которые не всегда совпадают, а в случае действительного представления (без мнимой единицы) всегда различаются между собой, хотя в простых случаях это различие весьма просто.

Примеры 4-векторов

Здесь и далее используется сигнатура ( + ,   − ,   − ,   − ) {displaystyle (+,~-,~-,~-)} .

  • 4-перемещение d x i = ( c d t ,   d x ,   d y ,   d z ) , {displaystyle dx^{i}=(cdt,~dx,~dy,~dz),}
  • 4-скорость u i = d x i d s = 1 c d x i d τ , {displaystyle u^{i}={frac {dx^{i}}{ds}}={frac {1}{c}}{frac {dx^{i}}{d au }},} где τ {displaystyle au } — «собственное время», равное деленному на скорость света интервалу, τ = 1 c ∫ d s {displaystyle au ={frac {1}{c}}int {ds}} , измеренному вдоль мировой линии. Геометрически 4-скорость является единичным вектором, касательным к мировой линии частицы.
  • 4-ускорение a i = d u i d s = 1 c d u i d τ , {displaystyle a^{i}={frac {du^{i}}{ds}}={frac {1}{c}}{frac {du^{i}}{d au }},} где τ {displaystyle au } — см. выше. Геометрически 4-ускорение является вектором кривизны мировой линии частицы.
  • 4-вектор энергии-импульса (четырёхимпульс) p i = ( ε c ,   p x ,   p y ,   p z ) {displaystyle p^{i}=left({frac {varepsilon }{c}},~p_{x},~p_{y},~p_{z} ight)} . Для частицы с ненулевой массой в отсутствие внешних полей p i = c m u i {displaystyle p^{i}=c,mu^{i}} .
  • четырёхмерная плотность тока (4-ток) j i = ( c ρ ,   j x ,   j y ,   j z ) ; {displaystyle j^{i}=(c ho ,~j_{x},~j_{y},~j_{z});}
  • волновой 4-вектор k i = ( ω c , − k x , − k y , − k z ) ; {displaystyle k_{i}=left({frac {omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z} ight);}
  • Электромагнитный потенциал A i = ( φ ,   − A x ,   − A y ,   − A z ) . {displaystyle A_{i}=(varphi ,~-A_{x},~-A_{y},~-A_{z}).}

Свойства

  • Закон преобразования четырёхвектора:
A ~ i = ∑ j S j i   A j , {displaystyle { ilde {A}}^{i}=sum _{j}S_{j}^{i} A^{j},}

где S j i {displaystyle S_{j}^{i}} — матрица из группы Лоренца — матрица перехода к новым координатам (к новой системе отсчёта).

  • Скалярные произведения (в частности, квадраты) 4-векторов вычисляются с использованием метрики Лоренца (см. также ниже).
    • Они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Они называются скалярами (в четырёхмерном — пространственно-временном — смысле).
    • Например, это интервал (квадрат интервала есть квадрат вектора перемещения в метрике Лоренца), масса (масса покоя) — её квадрат есть, с точностью до постоянного множителя, квадрат 4-импульса: m 2 = E 2 / c 4 − p 2 / c 2 {displaystyle m^{2}=E^{2}/c^{4}-p^{2}/c^{2}} и т. д.

Обозначения

Традиционно используется обозначение 4-вектора как совокупности его компонент. Так 4-вектор a {displaystyle a} обозначается как: a i {displaystyle a^{i}} (не нужно путать это обозначение с возведением в степень!) или a i . {displaystyle a_{i}.}

Координаты, 3 пространственные и временную, обычно обозначают как x i . {displaystyle x^{i}.}

Что означает при этом использование верхнего ( a i {displaystyle a^{i}} ) или нижнего ( a i {displaystyle a_{i}} ) индекса, оговаривается особо, но по умолчанию, если используется тот и другой (или хотя бы первый) вариант, то есть, если верхние индексы вообще используют, верхним индексом обозначают контравариантные координаты 4-вектора, а нижним — ковариантные координаты. Таким образом, в этом случае один и тот же вектор может иметь два разных представления — контравариантное и ковариантное.

В случае плоского пространства и инерциальных систем отсчёта, как в электродинамике, специальной теории относительности и вообще в случаях, когда гравитацией можно пренебречь, ковариантное и контравариантное представление отличаются лишь знаком временной (или наоборот, в зависимости от условно принятой сигнатуры — пространственных) компоненты. При этом скалярное произведение представимо как простая сумма произведений соответствующих компонент только для произведения ковариантного вектора с контравариантным, например:

( a , b ) = a i b i ≡ ∑ i a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4 = a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3 − a 4 b 4 {displaystyle (a,b)=a^{i}b_{i}equiv sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}+a^{4}b_{4}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}}

и в частности

( a ) 2 = ( a , a ) = a i a i ≡ ∑ i a i a i = a 1 a 1 + a 2 a 2 + a 3 a 3 + a 4 a 4 = ( a 1 ) 2 − ( a 2 ) 2 − ( a 3 ) 2 − ( a 4 ) 2 {displaystyle (a)^{2}=(a,a)=a^{i}a_{i}equiv sum _{i}a^{i}a_{i}=a^{1}a_{1}+a^{2}a_{2}+a^{3}a_{3}+a^{4}a_{4}=(a_{1})^{2}-(a_{2})^{2}-(a_{3})^{2}-(a_{4})^{2}}

(здесь и ниже использовано правило суммирования по повторяющемуся индексу Эйнштейна, а возведение в квадрат обозначено как (…)²).

Если же хотят написать скалярное произведение с использованием только ковариантных или только контравариантных компонент, обычно используют запись с метрикой Лоренца η i j {displaystyle eta _{ij}} (или η i j {displaystyle eta ^{ij}} ):

( a , b ) = η i j a i b j ≡ ∑ i , j η i j a i b i = a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3 − a 4 b 4 {displaystyle (a,b)=eta _{ij}a^{i}b^{j}equiv sum _{i,j}eta _{ij}a^{i}b^{i}=a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}-a^{4}b^{4}}

или

( a , b ) = η i j a i b j ≡ ∑ i , j η i j a i b i = a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3 − a 4 b 4 {displaystyle (a,b)=eta ^{ij}a_{i}b_{j}equiv sum _{i,j}eta ^{ij}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}}

(оба способа эквивалентны друг другу и описанному выше способу со обоими типами координат).

Однако в более общем случае нелоренцевых систем отсчёта, в том числе при учёте гравитации в соответствии с ОТО, вместо очень простой и постоянной лоренцевой метрики η i j {displaystyle eta _{ij}} приходится рассматривать произвольную, в том числе зависящую от пространственных координат и времени метрику g i j . {displaystyle g_{ij}.} (Во всех формулах, написанных в этом параграфе выше, надо в общем случае заменить η i j {displaystyle eta _{ij}} на g i j {displaystyle g_{ij}} , а η i j {displaystyle eta ^{ij}} на g i j {displaystyle g^{ij}} ). При этом простое правило о том, что ковариантное и контравариантное представление 4-вектора различаются лишь знаком пространственных компонент, перестаёт действовать, они начинают выражаться друг через друга с использованием также метрики g i j {displaystyle g_{ij}} общего вида (см. Метрический тензор#Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством):

a i = g i j a j ≡ ∑ j g i j a j , {displaystyle a^{i}=g^{ij}a_{j}equiv sum _{j}g^{ij}a_{j},} a i = g i j a j ≡ ∑ j g i j a j . {displaystyle a_{i}=g_{ij}a^{j}equiv sum _{j}g_{ij}a^{j}.}

(Как видим, эти формулы были верны и для η i j , {displaystyle eta _{ij},} но в том случае сводились к простому правилу перемены знака некоторых компонент, а здесь — в общем случае — уже не сводятся).

Заметим также, что в пространстве-времени с кривизной (которое уже правильно считать только многообразием, а не векторным пространством), совокупность координат x i {displaystyle x^{i}} уже не является вектором. Однако бесконечно малые смещения по координатам d x i {displaystyle dx^{i}} представляют вектор (вектор касательного пространства к многообразию в точке x i {displaystyle x^{i}} ).

И наконец, в случае лоренцевой метрики, рассмотренном выше, нередко используют только нижние индексы, так как ковариантные и контравариантные компоненты различаются только знаком, и можно ограничиваться упоминанием только одних из них (обычно — контравариантных, хотя и используя нижний индекс). Этот способ для этого случая сравнительно удобен, так как отсутствие верхних индексов несколько более привычно для неспециалистов, к тому же не может создать путаницы с обозначением возведения в степень. Однако и он имеет подводные камни, так как, например, вектор 4-градиента, записанный в контравариантном виде, довольно неожиданно имеет знак минус у пространственных компонент: ( ∂ 0 , − ∂ 1 , − ∂ 2 , − ∂ 3 ) , {displaystyle (partial _{0},-partial _{1},-partial _{2},-partial _{3}),} так как полный дифференциал d f = ∂ 0 f d x 0 + ∂ 1 f d x 1 + ∂ 2 f d x 2 + ∂ 3 f d x 3 {displaystyle df=partial _{0}fdx^{0}+partial _{1}fdx^{1}+partial _{2}fdx^{2}+partial _{3}fdx^{3}} — должен быть инвариантным, а в формулу скалярного произведения, если оба вектора представлены в одинаковой контравариантной форме, входит, как мы знаем, изменение знака из-за η i j . {displaystyle eta _{ij}.}

Интересно, что способ с использованием только нижних индексов и мнимой временной компоненты лишён этих недостатков (главным образом в области применимости, ограниченной случаем плоского пространства, но не только). Дело в том, что при использовании этого способа нужные знаки получаются автоматически (внимание: с учетом сигнатуры; впрочем, выбор сигнатуры — всё равно дело договоренности). То есть о знаках вообще не нужно думать, не нужно использовать явно матрицу метрического тензора, даже η i j , {displaystyle eta _{ij},} то есть метрика формально представлена единичной матрицей («формально евклидовская», что, конечно, не меняет её реально псевдоевклидова характера, но упрощает запись), а представление всех 4-векторов просто и единообразно:

  • 4-перемещение d x μ = ( i c   d t , d x , d y , d z ) , {displaystyle dx_{mu }=(ic~dt,dx,dy,dz),}
  • 4-импульс p μ = ( i E / c , p x , p y , p z ) , {displaystyle p_{mu }=(iE/c,p_{x},p_{y},p_{z}),}
  • четырёхмерная плотность тока j μ = ( i c ρ , j x , j y , j z ) , {displaystyle j_{mu }=(ic ho ,j_{x},j_{y},j_{z}),}
  • волновой 4-вектор k μ = ( i ω / c , k x , k y , k z ) , {displaystyle k_{mu }=(iomega /c,k_{x},k_{y},k_{z}),}
  • электромагнитный потенциал A μ = ( i ϕ , A x , A y , A z ) , {displaystyle A_{mu }=(iphi ,A_{x},A_{y},A_{z}),}

и т. д., где i — мнимая единица.

4-вектор в математике

Точка в пространстве Минковского называется событием и задаётся четырьмя координатами:

x := ( c t , x , y , z ) , {displaystyle mathbf {x} :=left(ct,x,y,z ight),}

где c {displaystyle c} — скорость света, t {displaystyle t} — время события, а x , y , z {displaystyle x,y,z} — его пространственные координаты. Такой 4-вектор называется 4-радиус-вектором.

Многие другие 4-векторы могут быть построены из него и далее друг из друга сложением, вычитанием, умножением или делением на скаляр, а также дифференцированием по скаляру и т. п. Так из 4-радиус-вектора дифференцированием по собственному времени получается 4-скорость, и т. д.

Скалярные произведения 4-векторов — лоренц-инвариантные величины (инварианты группы Лоренца), скаляры пространства Минковского.

История

4-векторы впервые рассмотрели Пуанкаре (1905) и затем Минковский. Они рассматривали временную компоненту 4-вектора чисто мнимой, что автоматически порождало нужное правило вычисления скалярного произведения при обычном суммировании произведений компонент. Термин «4-вектор» был предложен Арнольдом Зоммерфельдом в 1910 году.


Похожие новости:

Корреляционная функция

Корреляционная функция
Корреляционная функция — функция времени и пространственных координат, которая задает корреляцию в системах со случайными процессами. Определение Зависящая от времени корреляция двух случайных

Трилинейная система координат

Трилинейная система координат
Трилинейные координаты тесно связаны с барицентрическими координатами. А именно, если ( α : β : γ )

Минимальная поверхность Бура

Минимальная поверхность Бура
Минимальная поверхность Бура — это двухмерная минимальная поверхность, вложенная с самопересечениями в трёхмерное евклидово пространство. Поверхность названа именем Эдмонда Бура, работа которого о

Исследование двигательных органов (часть 1)

Исследование двигательных органов (часть 1)
Исследование двигательных органов домашних животных имеет большое значение при определении состояния нервной системы. При исследовании особое внимание обращают на 1) положение тела в пространстве, 2)
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Снабжение ЖКХ - оперативно и эффективно
Снабжение ЖКХ - оперативно и эффективно
Жилищно-коммунальное хозяйство представляет собой огромную совокупность различных отраслей...
Сетка кладочная «Бенстен К»: описание, характеристики, область применения
Сетка кладочная «Бенстен К»: описание, характеристики, область применения
Ассортимент материалов, применяемых в строительстве, постоянно расширяется. Более 10 лет в этой...
Прокладки овальные - сферы и особенности применения
Прокладки овальные - сферы и особенности применения
Овальные прокладки являются уплотнительным материалом, который изготавливается из стали. Они...
Все новости