Теория линейных стационарных систем

Теория линейных стационарных систем — раздел теории динамических систем, изучающий поведение и динамические свойства линейных стационарных систем (ЛСС). Используется для изучения процессов управления техническими системами, для цифровой обработки сигналов и в других областях науки и техники.

Обзор

Определяющими свойствами для любой линейной стационарной системы являются линейность и стационарность:

• Линейность означает линейную связь между входом и выходом системы.

Формально, линейной называется система, обладающая следующим свойством:

если сигнал на входе системы можно представить взвешенной суммой воздействий (например, двух) — x(t) = A·x1(t) + B·x2(t) то сигнал на выходе системы является также взвешенной суммой реакций на каждое из воздействий — y(t) = A·y1(t) + B·y2(t) для любых постоянных A и B.

• Стационарность — означает, что выходной сигнал системы как реакция на любой заданный входной сигнал одинаков для любого момента приложения входного сигнала (с точностью до времени запаздывания момента приложения входного сигнала). В более узком смысле — при запаздывании входного сигнала по времени на некоторую величину, выходной сигнал будет запаздывать на ту же самую величину.

Динамика систем, обладающих вышеперечисленными свойствами, может описываться одной простой функцией, к примеру, импульсной переходной функцией. Выход системы может рассчитываться как свёртка входного сигнала с импульсной переходной функцией системы. Этот метод анализа иногда называется анализом во временной области. Сказанное справедливо и для дискретных систем.

Кроме того, любая ЛСС может быть описана в частотной области с помощью своей передаточной функции, которая является преобразованием Лапласа импульсной переходной функции (или Z-преобразованием в случае дискретных систем). В силу свойств этих преобразований, выход системы в частотной области будет равен произведению передаточной функции и соответствующего преобразования входного сигнала. Другими словами, свёртке во временной области соответствует умножение в частотной области.

Для всех ЛСС собственные функции являются комплексными экспонентами. То есть, если вход системы представляет собой комплексный сигнал A exp ⁡ ( s t ) {displaystyle Aexp({st})} с некоторой комплексной амплитудой A {displaystyle A} и частотой s {displaystyle s} , то выход будет равен некоторому сигналу B exp ⁡ ( s t ) {displaystyle Bexp({st})} с комплексной амплитудой B {displaystyle B} . Отношение B / A {displaystyle B/A} будет являться передаточной функцией системы на частоте s {displaystyle s} .

Так как синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно-сопряжёнными частотами, если вход системы — синусоида, то выходом системы будет также синусоида, в общем случае с другой амплитудой и фазой, но с той же частотой.

Теория ЛСС хорошо подходит для описания многих систем. Большинство ЛСС гораздо проще анализировать, чем нестационарные и нелинейные системы. Любая система, динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является линейной стационарной системой. Примерами таких систем являются электрические схемы, собранные из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности (RLC-цепочки). Груз на пружинке также можно считать ЛСС.

Большая часть общих концепций ЛСС схожа как в случае непрерывных систем, так и в случае дискретных систем.

Стационарность и линейные преобразования

Рассмотрим нестационарную систему, чья импульсная характеристика представляет собой функцию двух переменных. Посмотрим, как свойство стационарности поможет нам избавиться от одного измерения. К примеру, пусть входной сигнал — x ( t ) {displaystyle x(t)} , где аргумент — числа действительной оси, то есть t ∈ R {displaystyle tin mathbb {R} } . Линейный оператор H {displaystyle {mathcal {H}}} показывает, как система отрабатывает этот входной сигнал. Соответствующий оператор для некоторого набора аргументов представляет собой функцию двух переменных:

h ( t 1 , t 2 ) ,  t 1 , t 2 ∈ R . {displaystyle h(t_{1},t_{2}){mbox{, }}t_{1},t_{2}in mathbb {R} .}

Для дискретной системы:

h [ n 1 , n 2 ] ,  n 1 , n 2 ∈ Z . {displaystyle h[n_{1},n_{2}]{mbox{, }}n_{1},n_{2}in mathbb {Z} .}

Так как H {displaystyle {mathcal {H}}} — линейный оператор, воздействие системы на входной сигнал x ( t ) {displaystyle x(t)} представляется линейным преобразованием, описываемым следующим интегралом (интеграл суперпозиции)

y ( t 1 ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t 1 , t 2 ) x ( t 2 ) d t 2 . {displaystyle y(t_{1})=int limits _{-infty }^{infty }h(t_{1},t_{2}),x(t_{2}),dt_{2}.}

Если линейный оператор H {displaystyle {mathcal {H}}} ко всему прочему является и стационарным, тогда

h ( t 1 , t 2 ) = h ( t 1 + τ , t 2 + τ ) ∀ τ ∈ R . {displaystyle h(t_{1},t_{2})=h(t_{1}+ au ,t_{2}+ au )qquad forall , au in mathbb {R} .}

Положив

τ = − t 2 , {displaystyle au =-t_{2},}

получим:

h ( t 1 , t 2 ) = h ( t 1 − t 2 , 0 ) . {displaystyle h(t_{1},t_{2})=h(t_{1}-t_{2},0).}

Для краткости записи второй аргумент в h ( t 1 , t 2 ) {displaystyle h(t_{1},t_{2})} обычно опускается и интеграл суперпозиции становится интегралом свёртки:

y ( t 1 ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t 1 − t 2 ) x ( t 2 ) d t 2 = ( h ∗ x ) ( t 1 ) . {displaystyle y(t_{1})=int limits _{-infty }^{infty }h(t_{1}-t_{2}),x(t_{2}),dt_{2}=(h*x)(t_{1}).}

Таким образом, интеграл свёртки показывает как линейная стационарная система отрабатывает любой входной сигнал. Полученное соотношение для дискретных систем:

y [ n 1 ] = ∑ n 2 = − ∞ ∞ h [ n 1 − n 2 ] x [ n 2 ] = ( h ∗ x ) [ n 1 ] . {displaystyle y[n_{1}]=sum _{n_{2}=-infty }^{infty }h[n_{1}-n_{2}],x[n_{2}]=(h*x)[n_{1}].}

Импульсная переходная функция

Если ко входу системы приложить входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, результирующий выходной сигнал ЛСС будет представлять собой импульсную переходную функцию системы. Запись:

( h ∗ δ ) ( t ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t − τ ) δ ( τ ) d τ = h ( t ) , {displaystyle (h*delta )(t)=int limits _{-infty }^{infty }h(t- au ),delta ( au ),d au =h(t),}

Для дискретной системы:

x [ n ] = ∑ m = − ∞ ∞ x [ m ] δ [ n − m ] . {displaystyle x[n]=sum _{m=-infty }^{infty }x[m]delta [n-m].}

(из-за свойства сдвига дельта-функции).

Заметим, что:

h ( t ) = h ( t , 0 )   ( with  t = t 1 − t 2 ) {displaystyle h(t)=h(t,0) ({mbox{with }}t=t_{1}-t_{2})}

то есть h ( t ) {displaystyle h(t)} — импульсная переходная функция системы

Импульсная переходная функция используется для того, чтобы найти выходной сигнал системы как реакцию на любой входной сигнал. Кроме того, любой вход может быть представлен в виде суперпозиции дельта-функций:

x ( t ) = ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) δ ( t − τ ) d τ {displaystyle x(t)=int limits _{-infty }^{infty }x( au )delta (t- au ),d au }

Приложив ко входу системы, получим:

H x ( t ) = H ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) δ ( t − τ ) d τ {displaystyle {mathcal {H}}x(t)={mathcal {H}}int limits _{-infty }^{infty }x( au )delta (t- au ),d au } = ∫ − ∞ ∞ H x ( τ ) δ ( t − τ ) d τ {displaystyle quad =int limits _{-infty }^{infty }{mathcal {H}}x( au )delta (t- au ),d au } (так как H {displaystyle {mathcal {H}}} линейна) = ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) H δ ( t − τ ) d τ {displaystyle quad =int limits _{-infty }^{infty }x( au ){mathcal {H}}delta (t- au ),d au } (так как x ( τ ) {displaystyle x( au )} постоянна по t и H {displaystyle {mathcal {H}}} линейна) = ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ {displaystyle quad =int limits _{-infty }^{infty }x( au )h(t- au ),d au } (by definition of h ( t ) {displaystyle h(t)} )

В импульсной переходной функции h ( t ) {displaystyle h(t)} содержится вся информация о динамике ЛСС.

Собственные функции

Собственная функция — функция, для которой выход оператора представляет собой ту же функцию, в общем случае с точностью до постоянного множителя. Запись:

H f = λ f {displaystyle {mathcal {H}}f=lambda f} ,

где f — собственная функция, и λ {displaystyle lambda } — собственное число, константа.

Экспоненты e s t {displaystyle e^{st}} , где s ∈ C {displaystyle sin mathbb {C} } являются собственными функциями линейного стационарного оператора. Простое доказательство:

Пусть входной сигнал системы x ( t ) = e s t {displaystyle x(t)=e^{st}} . Тогда выходной сигнал системы h ( t ) {displaystyle h(t)} равен:

∫ − ∞ ∞ h ( t − τ ) e s τ d τ {displaystyle int limits _{-infty }^{infty }h(t- au )e^{s au }d au }

что эквивалентно следующему выражению в силу коммутативности свёртки:

∫ − ∞ ∞ h ( τ ) e s ( t − τ ) d τ {displaystyle int limits _{-infty }^{infty }h( au ),e^{s(t- au )},d au } = e s t ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) e − s τ d τ {displaystyle quad =e^{st}int limits _{-infty }^{infty }h( au ),e^{-s au },d au } = e s t H ( s ) {displaystyle quad =e^{st}H(s)} ,

где

H ( s ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t ) e − s t d t {displaystyle H(s)=int limits _{-infty }^{infty }h(t)e^{-st}dt}

зависит только от s.

Таким образом, e s t {displaystyle e^{st}} — собственная функция ЛСС.

Преобразования Лапласа и Фурье

Преобразование Лапласа

H ( s ) = L { h ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ h ( t ) e − s t d t {displaystyle H(s)={mathcal {L}}{h(t)}=int limits _{-infty }^{infty }h(t)e^{-st}dt}

является точным способом получить собственные числа из импульсной переходной функции. Особенный интерес представляют чистые синусоиды, то есть экспоненты вида exp ⁡ ( j ω t ) {displaystyle exp({jomega t})} где ω ∈ R {displaystyle omega in mathbb {R} } и j {displaystyle j} — мнимая единица. Они обычно называются комплексными экспонентами даже если аргумент не имеет действительной части. Преобразование Фурье H ( j ω ) = F { h ( t ) } {displaystyle H(jomega )={mathcal {F}}{h(t)}} даёт собственные числа для чисто комплексных синусоид. H ( s ) {displaystyle H(s)} называется передаточной функцией системы, иногда в литературе этот термин применяют и к H ( j ω ) {displaystyle H(jomega )} .

Преобразование Лапласа обычно используется для односторонних сигналов, то есть при нулевых начальных условиях. Начальный момент времени без потери общности принимается за ноль, а преобразование берётся от ноля до бесконечности (преобразование, которое получается при интегрировании также и до минус бесконечности, называется двустороннее преобразование Лапласа).

Преобразование Фурье используется для анализа систем, через которые проходят периодические сигналы, и во многих других случаях — например, для анализа системы на устойчивость.

Из-за свойств свёртки для обоих преобразований имеют место следующие соотношения:

y ( t ) = ( h ∗ x ) ( t ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t − τ ) x ( τ ) d τ {displaystyle y(t)=(h*x)(t)=int limits _{-infty }^{infty }h(t- au )x( au )d au } = L − 1 { H ( s ) X ( s ) } {displaystyle quad ={mathcal {L}}^{-1}{H(s)X(s)}}

Для дискретных систем:

y [ n ] = ( h ∗ x ) [ n ] = ∑ m = − ∞ ∞ h [ n − m ] x [ m ] {displaystyle y[n]=(h*x)[n]=sum _{m=-infty }^{infty }h[n-m]x[m]} = Z − 1 { H ( s ) X ( s ) } {displaystyle quad ={mathcal {Z}}^{-1}{H(s)X(s)}}

Некоторые свойства

Некоторые из важных свойств любой системы — причинность и устойчивость. Для того, чтобы система существовала в реальном мире, должен выполняться принцип причинности. Неустойчивые системы могут быть построены и иногда быть даже полезными.

Причинность

Система называется причинной, если её выход зависит только от текущего или предыдущего приложенного воздействия. Необходимое и достаточное условие причинности:

h ( t ) = 0 ∀ t < 0 , {displaystyle h(t)=0quad forall t<0,}

Для дискретных систем:

h [ n ] = 0   ∀ n < 0 , {displaystyle h[n]=0 forall n<0,}

где h ( t ) {displaystyle h(t)} — импульсная переходная функция. В явном виде определить причинная система или нет из её преобразования Лапласа в общем случае невозможно, так как обратное преобразование Лапласа не является уникальным. Причинность может быть определена когда задана область сходимости.

Устойчивость

Система является устойчивой по ограниченному входу, ограниченному выходу (англ. bounded input, bounded output stable, BIBO stable) если для каждого ограниченного входа выходной сигнал является конечным. Запись: Если

| | x ( t ) | | ∞ = lim p → ∞ ( ∫ − ∞ ∞ | x ( t ) | p d t ) 1 / p < ∞ {displaystyle ||x(t)||_{infty }=lim _{p o infty }left(int limits _{-infty }^{infty }|x(t)|^{p}dt ight)^{1/p}<infty }

и

| | y ( t ) | | ∞ = lim p → ∞ ( ∫ − ∞ ∞ | y ( t ) | p d t ) 1 / p < ∞ {displaystyle ||y(t)||_{infty }=lim _{p o infty }left(int limits _{-infty }^{infty }|y(t)|^{p}dt ight)^{1/p}<infty }

(то есть, максимумы абсолютных значений x ( t ) {displaystyle x(t)} и y ( t ) {displaystyle y(t)} конечны), тогда система устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости: импульсная переходная характеристика системы, h ( t ) {displaystyle h(t)} , должна удовлетворять выражению

| | h ( t ) | | 1 = ∫ − ∞ ∞ | h ( t ) | d t < ∞ . {displaystyle ||h(t)||_{1}=int limits _{-infty }^{infty }|h(t)|dt<infty .}

Для дискретных систем:

| | h [ n ] | | 1 = ∑ n = − ∞ ∞ | h [ n ] | < ∞ . {displaystyle ||h[n]||_{1}=sum _{n=-infty }^{infty }|h[n]|<infty .}

В частотной области область сходимости должна содержать мнимую ось s = j ω {displaystyle s=jomega } .