Бабий узел (теория узлов)

В теории узлов бабий узел — это составной узел, полученный соединением двух одинаковых трилистников. Узел тесно связан с прямым узлом, который тоже можно описать как соединение двух трилистников. Поскольку трилистник является простейшим нетривиальным узлом, прямой и бабий узлы являются простейшими составными узлами.

Бабий узел является математической версией бытового бабьего узла.

Построение

Бабий узел можно построить из двух одинаковых трилистников, которые должны быть либо оба левыми, либо оба правыми. Каждый из узлов рассекается и свободные концы попарно соединяются. В результате соединения получаем бабий узел.

Важно, чтобы брались два одинаковых образа трилистника. Если взять два зеркальных трилистника получится прямой узел.

Свойства

Число пересечений бабьего узла равно шести, что является минимумом для составных узлов. В отличие от прямого узла, бабий узел не является ленточным или срезанным. Бабий узел является хиральным узлом, т.е. он не эквивалентен своему зеркальному образу.

Многочлен Александера бабьего узла равен

Δ ( t ) = ( t − 1 + t − 1 ) 2 , {displaystyle Delta (t)=(t-1+t^{-1})^{2},}

что просто является квадратом многочлена Александера трилистника. Аналогично, многочлен Александера — Конвея бабьего узла равен

∇ ( z ) = ( z 2 + 1 ) 2 . {displaystyle abla (z)=(z^{2}+1)^{2}.}

Эти два многочлена в точности те же, что и для прямого узла, однако многочлен Джонса (правого) бабьего узла равен

V ( q ) = ( q − 1 + q − 3 − q − 4 ) 2 = q − 2 + 2 q − 4 − 2 q − 5 + q − 6 − 2 q − 7 + q − 8 . {displaystyle V(q)=(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})^{2}=q^{-2}+2q^{-4}-2q^{-5}+q^{-6}-2q^{-7}+q^{-8}.}

Этот многочлен равен квадрату многочлена Джонса для правого трилистника и он отличается от многочлена Джонса для прямого узла.

Группа бабьего узла задаётся следующим образом

⟨ x , y , z ∣ x y x = y x y , x z x = z x z ⟩ {displaystyle langle x,y,zmid xyx=yxy,xzx=zxz angle } .

Эта группа изоморфна группе прямого узла, и это служит простейшим примером двух различных узлов с изоморфными группами узлов.