Трилинейная система координат
Трилинейные координаты тесно связаны с барицентрическими координатами. А именно, если ( α : β : γ ) {displaystyle (alpha :eta :gamma )} — барицентрические координаты точки X {displaystyle X} относительно треугольника A B C {displaystyle ABC} , а a , b , c {displaystyle a,b,c} — длины его сторон, то
( x : y : z ) = ( α a : β b : γ c ) {displaystyle (x:y:z)=left({frac {alpha }{a}}:{frac {eta }{b}}:{frac {gamma }{c}} ight)}её трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.
Для точки X {displaystyle X} , лежащей внутри треугольника A B C {displaystyle ABC} , в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников ( S B C X : S C A X : S A B X ) {displaystyle (S_{BCX}:S_{CAX}:S_{ABX})} . Это означает, что в качестве трилинейных координат можно взять расстояния от точки X {displaystyle X} до сторон треугольника — абсолютные трилинейные координаты. Если точка X {displaystyle X} лежит вне треугольника, то расстояния до сторон нужно взять с учётом знака. Например, если точки X {displaystyle X} и A {displaystyle A} лежат по одну сторону от прямой B C {displaystyle BC} , то x > 0 {displaystyle x>0} , а если по разные, то x < 0 {displaystyle x<0} .
В трилинейных координатах изогональное сопряжение задаётся формулой ( x : y : z ) ↦ ( x − 1 : y − 1 : z − 1 ) {displaystyle (x:y:z)mapsto (x^{-1}:y^{-1}:z^{-1})} . В связи с этим трилинейные координаты часто бывают удобны при работе с изогональным сопряжением.
Добавить комментарий!