07.11.2020

Сигнатура (линейная алгебра)


Сигнатура — числовая характеристика квадратичной формы или псевдоевклидова пространства, в котором скалярное произведение задано с помощью соответствующей квадратичной формы.

Определение

Каждая квадратичная форма с действительными коэффициентами может быть приведена с помощью невырожденной линейной замены переменных к каноническому виду

x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − x p + 2 2 − ⋯ − x p + q 2 . {displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-x_{p+2}^{2}-cdots -x_{p+q}^{2}.}

Разность p − q {displaystyle p-q} между числом положительных и отрицательных членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Числа p и q сигнатуры не зависят от способов приведения формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Сигнатуру квадратичной формы также записывают в виде пары чисел ( p , q ) {displaystyle (p,q)} или в виде ( + ⋯ + − ⋯ − ) {displaystyle (+cdots +-cdots -)} с соответствующим числом плюсов и минусов.

Пример

Квадратичная форма от двух переменных x 1 x 2 {displaystyle x_{1}x_{2}} может быть приведена к каноническому виду x ~ 1 2 − x ~ 2 2 , {displaystyle { ilde {x}}_{1}^{2}-{ ilde {x}}_{2}^{2},} например, с помощью линейной замены переменных x 1 = x ~ 1 + x ~ 2 , {displaystyle x_{1}={ ilde {x}}_{1}+{ ilde {x}}_{2},} x 2 = x ~ 1 − x ~ 2 . {displaystyle x_{2}={ ilde {x}}_{1}-{ ilde {x}}_{2}.} Сигнатура этой квадратичной формы равна нулю или может быть записана в виде ( 1 , 1 ) {displaystyle (1,1)} или в виде ( + − ) . {displaystyle (+-).}


Похожие новости:

Корреляционная функция

Корреляционная функция
Корреляционная функция — функция времени и пространственных координат, которая задает корреляцию в системах со случайными процессами. Определение Зависящая от времени корреляция двух случайных

Произведение Громова

Произведение Громова
Произведение Громова — расстояние, на котором две геодезические стартующих в одной точке начинают существенно расходиться. Названо в честь Громова. Произведение Громова используется, в частности

Бабий узел (теория узлов)

Бабий узел (теория узлов)
В теории узлов бабий узел — это составной узел, полученный соединением двух одинаковых трилистников. Узел тесно связан с прямым узлом, который тоже можно описать как соединение двух трилистников.

Список интегралов элементарных функций

Список интегралов элементарных функций
Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе. В отличие от операции дифференцирования, интеграл от элементарной функции может не быть элементарной функцией. Например,
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Мебель для офиса с экономией для бюджета
Мебель для офиса с экономией для бюджета
Часто ли наши желания совпадают с нашими возможностями? Часто ли то, что мы хотим приобрести, нам...
Выбираем стол в малогабаритную кухню
Выбираем стол в малогабаритную кухню
Главный атрибут кухонного гарнитура – это обеденный стол, за которым собирается вся семья во время...
Эхолот не оставит без улова
Эхолот не оставит без улова
В былые времена рыбалка для людей была одним из способов добыть себе и своей семье пропитание....
Все новости