06.11.2020

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии


Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит:

Из этого следует, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел.

История доказательств

Теорема в данной формулировке была доказана Дирихле аналитическими средствами в 1837 году. В дальнейшем были найдены доказательство теоремы элементарными методами. Различные такие доказательства представили Мертенс, Сельберг и Цассенхаус.

Вариации

При рассмотрении простых p ≡ l ( mod k ) {displaystyle pequiv l{pmod {k}}} довольно часто оказывается, что их множество обладает многими свойствами, присущими множеству всех простых чисел. Существует немало теорем и гипотез, рассматривающих только простые числа из определённого класса вычетов, или соотношения множеств простых чисел из разных классов вычетов.

Например, кроме основного утверждения теоремы Дирихле доказал в 1839 году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах l {displaystyle l} и k {displaystyle k} :

lim s → 1 + ∑ p 1 p s ln ⁡ 1 s − 1 = 1 φ ( k ) , {displaystyle lim _{s o 1+}{frac {sum limits _{p}{dfrac {1}{p^{s}}}}{ln {dfrac {1}{s-1}}}}={frac {1}{varphi (k)}},}

где суммирование ведётся по всем простым числам p {displaystyle p} с условием p ≡ l ( mod k ) {displaystyle pequiv l{pmod {k}}} , а φ {displaystyle varphi } — функция Эйлера.

Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов mod k {displaystyle mod k} , поскольку

lim s → 1 + ∑ p 1 p s ln ⁡ 1 s − 1 = 1 , {displaystyle lim _{s o 1+}{dfrac {sum limits _{p}{dfrac {1}{p^{s}}}}{ln {dfrac {1}{s-1}}}}=1,}

если суммирование ведётся по всем простым числам.

Известно, что для любых взаимопростых чисел l {displaystyle l} и k {displaystyle k} ряд ∑ p 1 p {displaystyle sum limits _{p}{frac {1}{p}}} , где суммирование ведётся по простым p ≡ l ( mod k ) {displaystyle pequiv l{pmod {k}}} , расходится.


Похожие новости:

Функция Гёделя

Функция Гёделя
Функция Геделя — функция, применяющаяся в теории алгоритмов для облегчения нумерации множеств натуральных чисел. Определение Функцией Геделя Γ ( x

353 (число)

353 (число)
353 (триста пятьдесят три) — натуральное число, расположенное между числами 352 и 354. 353 день в году — 19 декабря (в високосный год — 18 декабря)[значимость факта?]. В математике 353

Формула Борда — Карно

Формула Борда — Карно
В гидродинамике формула (теорема) Борда — Карно — это эмпирическая формула, описывающая потери энергии (или напора) жидкости, происходящие при местном расширении потока. Эта формула, в отличие от

Патогенез (часть 4)

Патогенез (часть 4)
Усиленное вовлечение аминокислот в глюконеогенез усугубляет изменения в метаболизме белков, что проявляется в значительной дисаминоацидемин, нарушении аминокислотного состава плазмы, лейкоцитов
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Рукава напорно-всасывающие ГОСТ 5398-76: определение, виды, применение
Рукава напорно-всасывающие ГОСТ 5398-76: определение, виды, применение
Рукавом напорно-всасывающим (НВР) называется гибкий трубопровод, посредством которого может...
Виды геомембран
Виды геомембран
Относительно недавно в нашей стране стали применять геосинтетические покрытия. Появились они на...
Химчистка мягкой мебели
Химчистка мягкой мебели
Практически в любом жилье найдется мягкая мебель. Как и ковровые покрытия, она требует особого...
Все новости