18.06.2021

Теорема Безу


Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена P ( x ) {displaystyle P(x)} на двучлен ( x − a ) {displaystyle (x-a)} равен P ( a ) {displaystyle P(a)} .

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство

Поделим с остатком многочлен P ( x ) {displaystyle P(x)} на двучлен x − a {displaystyle x-a} :

P ( x ) = ( x − a ) Q ( x ) + R ( x ) , {displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)+R(x),}

где R ( x ) {displaystyle R(x)} — остаток. Так как deg ⁡ R ( x ) < deg ⁡ ( x − a ) = 1 {displaystyle deg R(x)<deg(x-a)=1} , то R ( x ) {displaystyle R(x)} — многочлен степени не выше 0, то есть константа, обозначим её за r {displaystyle r} . Подставляя x = a {displaystyle x=a} , поскольку ( a − a ) Q ( a ) = 0 {displaystyle (a-a)Q(a)=0} , имеем P ( a ) = R ( x ) = r {displaystyle P(a)=R(x)=r} .

Следствия

  • Число a {displaystyle a} является корнем многочлена p ( x ) {displaystyle p(x)} тогда и только тогда, когда p ( x ) {displaystyle p(x)} делится без остатка на двучлен x − a {displaystyle x-a} (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена P ( x ) {displaystyle P(x)} тождественно множеству корней соответствующего уравнения P ( x ) = 0 {displaystyle P(x)=0} ).
  • Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
  • Пусть a {displaystyle a} — целый корень приведённого многочлена A ( x ) {displaystyle A(x)} с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k {displaystyle k} число A ( k ) {displaystyle A(k)} кратно a − k {displaystyle a-k} .

Приложения

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.


Похожие новости:

Список интегралов элементарных функций

Список интегралов элементарных функций
Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе. В отличие от операции дифференцирования, интеграл от элементарной функции может не быть элементарной функцией. Например,

Теорема Борсука — Улама

Теорема Борсука — Улама
Теорема Борсука — Улама — классическая теорема алгебраической топологии, утверждающая, что всякая непрерывная функция, отображающая n {displaystyle n}

Бабий узел (теория узлов)

Бабий узел (теория узлов)
В теории узлов бабий узел — это составной узел, полученный соединением двух одинаковых трилистников. Узел тесно связан с прямым узлом, который тоже можно описать как соединение двух трилистников.

Список интегралов элементарных функций

Список интегралов элементарных функций
Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе. В отличие от операции дифференцирования, интеграл от элементарной функции может не быть элементарной функцией. Например,
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Зачем использовать заглушки в гофрированных трубах?
Зачем использовать заглушки в гофрированных трубах?
Гофрированная труба становится основной большинства инженерных систем. В одной системе по таким...
Пропитки для бетона
Пропитки для бетона
Для того, чтобы увеличить прочность бетона рекомендуется использовать специальные пропитки для...
Как выбрать трубу для водопровода?
Как выбрать трубу для водопровода?
Строительство или ремонт в загородном доме и на даче – это всегда большой пласт работы. Важно не...
Все новости