16.06.2021

Сравнение топологий


Сравнение топологий — это понятие, позволяющее «сравнивать» различные топологические структуры на одном и том же множестве. Множество всех топологий на фиксированном множестве образует частично упорядоченное множество относительно этого отношения.

Определение

Пусть T 1 {displaystyle {mathcal {T}}_{1}} и T 2 {displaystyle {mathcal {T}}_{2}} — две топологии на множестве X , {displaystyle X,} такие что T 1 {displaystyle {mathcal {T}}_{1}} содержится в T 2 : {displaystyle {mathcal {T}}_{2}:}

T 1 ⊆ T 2 . {displaystyle {mathcal {T}}_{1}subseteq {mathcal {T}}_{2}.}

Это значит, что каждое открытое множество первого топологического пространства является открытым множеством второго. В этом случае топология T 1 {displaystyle {mathcal {T}}_{1}} называется более грубой (иногда — более слабой или меньшей), чем T 2 . {displaystyle {mathcal {T}}_{2}.} Соответственно, топология T 2 {displaystyle {mathcal {T}}_{2}} называется более тонкой (более сильной, большей). Некоторые авторы, особенно в учебниках по математическому анализу, употребляют термины «сильная топология» и «слабая топология» с противоположным значением.

Бинарное отношение ⊆ {displaystyle subseteq } задаёт структуру частичного порядка на множестве всех возможных топологий множества X . {displaystyle X.}

Примеры

Наиболее тонкая топология на X {displaystyle X} — дискретная топология, в которой все множества открыты. Соответственно, наиболее грубая топология — тривиальная (или антидискретная) топология.

Наиболее грубая топология на X , {displaystyle X,} относительно которой X {displaystyle X} удовлетворяет аксиоме отделимости T1, называется T1-топологией. Такая топология всегда существует, её можно описать явно как топологию, замкнутые множества которой — это конечные множества, а также всё X . {displaystyle X.}

Свойства

Пусть T 1 {displaystyle {mathcal {T}}_{1}} и T 2 {displaystyle {mathcal {T}}_{2}} — две топологии на множестве X . {displaystyle X.} Тогда следующие утверждения эквивалентны:

  • T 1 ⊆ T 2 {displaystyle {mathcal {T}}_{1}subseteq {mathcal {T}}_{2}}
  • Тождественное отображение id X : ( X , T 2 ) → ( X , T 1 ) {displaystyle { ext{id}}_{X}:(X,{mathcal {T}}_{2}) o (X,{mathcal {T}}_{1})} непрерывно.
  • Тождественное отображение id X : ( X , T 1 ) → ( X , T 2 ) {displaystyle { ext{id}}_{X}:(X,{mathcal {T}}_{1}) o (X,{mathcal {T}}_{2})} является открытым отображением (или, эквивалентно, замкнутым отображением).

Также из определений немедленно следуют данные утверждения:

  • Непрерывное отображение f : X → Y {displaystyle f:X o Y} останется непрывным, если топологию на Y {displaystyle Y} заменить на более грубую (соответственно, топологию на X {displaystyle X} — на более тонкую).
  • Открытое отображение f : X → Y {displaystyle f:X o Y} останется открытым, если топологию на Y {displaystyle Y} заменить на более тонкую (соответственно, топологию на X {displaystyle X} — на более грубую). Аналогичное утверждение верно для замкнутых отображений.

Решётка топологий

Множество топологий на X {displaystyle X} образует полную решётку относительно отношения ⊆ . {displaystyle subseteq .} Это значит, что произвольное семейство топологий имеет точную верхнюю и точную нижнюю грань. Точная нижняя грань — это просто пересечение топологий. С другой стороны, объединение топологий не обязательно является топологией, и точная верхняя грань семейства топологий — это топология, для которой их объединение является предбазой.

Любая полная решётка является также ограниченной, в случае топологий этому соответствуют понятия дискретной и антидискретной топологии.


Похожие новости:

Эпсилон-окрестность

Эпсилон-окрестность
ε {displaystyle varepsilon } -окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества

Аддитивные сет-функции и меры

Аддитивные сет-функции и меры
Сет-функция — действительная числовая функция f :  2 Ω

Марковский момент времени

Марковский момент времени
Марковский момент времени (в теории случайных процессов) — это случайная величина, не зависящая от будущего рассматриваемого случайного процесса. Дискретный случай Пусть дана последовательность

Дифференциальная теория Галуа

Дифференциальная теория Галуа
Дифференциальная теория Галуа — раздел математики, который изучает группы Галуа дифференциальных уравнений. Предпосылки и основная идея В 1830-х годах Лиувилль создал теорию интегрирования в
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Ремонт газового котла – правильное решение для владельца
Ремонт газового котла – правильное решение для владельца
Важной частью отопления является газовый котел. Это устройство предназначено для получения тепловой...
Суперпредложение ОКМАТРАС: Standart 2 Roll, акция 45 %
Суперпредложение ОКМАТРАС: Standart 2 Roll, акция 45 %
Проблема дополнительного спального места возникает иногда у всех людей, когда приезжают друзья, а...
О конструкции, разновидностях и стоимости окон ПВХ
О конструкции, разновидностях и стоимости окон ПВХ
Если установить пластиковые окна (ПЛО), то в квартире станет тихо, тепло и уютно. Поэтому...
Все новости