Сравнение топологий

Сравнение топологий — это понятие, позволяющее «сравнивать» различные топологические структуры на одном и том же множестве. Множество всех топологий на фиксированном множестве образует частично упорядоченное множество относительно этого отношения.

Определение

Пусть T 1 {displaystyle {mathcal {T}}_{1}} и T 2 {displaystyle {mathcal {T}}_{2}} — две топологии на множестве X , {displaystyle X,} такие что T 1 {displaystyle {mathcal {T}}_{1}} содержится в T 2 : {displaystyle {mathcal {T}}_{2}:}

T 1 ⊆ T 2 . {displaystyle {mathcal {T}}_{1}subseteq {mathcal {T}}_{2}.}

Это значит, что каждое открытое множество первого топологического пространства является открытым множеством второго. В этом случае топология T 1 {displaystyle {mathcal {T}}_{1}} называется более грубой (иногда — более слабой или меньшей), чем T 2 . {displaystyle {mathcal {T}}_{2}.} Соответственно, топология T 2 {displaystyle {mathcal {T}}_{2}} называется более тонкой (более сильной, большей). Некоторые авторы, особенно в учебниках по математическому анализу, употребляют термины «сильная топология» и «слабая топология» с противоположным значением.

Бинарное отношение ⊆ {displaystyle subseteq } задаёт структуру частичного порядка на множестве всех возможных топологий множества X . {displaystyle X.}

Примеры

Наиболее тонкая топология на X {displaystyle X} — дискретная топология, в которой все множества открыты. Соответственно, наиболее грубая топология — тривиальная (или антидискретная) топология.

Наиболее грубая топология на X , {displaystyle X,} относительно которой X {displaystyle X} удовлетворяет аксиоме отделимости T1, называется T1-топологией. Такая топология всегда существует, её можно описать явно как топологию, замкнутые множества которой — это конечные множества, а также всё X . {displaystyle X.}

Свойства

Пусть T 1 {displaystyle {mathcal {T}}_{1}} и T 2 {displaystyle {mathcal {T}}_{2}} — две топологии на множестве X . {displaystyle X.} Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• T 1 ⊆ T 2 {displaystyle {mathcal {T}}_{1}subseteq {mathcal {T}}_{2}}
• Тождественное отображение id X : ( X , T 2 ) → ( X , T 1 ) {displaystyle { ext{id}}_{X}:(X,{mathcal {T}}_{2}) o (X,{mathcal {T}}_{1})} непрерывно.
• Тождественное отображение id X : ( X , T 1 ) → ( X , T 2 ) {displaystyle { ext{id}}_{X}:(X,{mathcal {T}}_{1}) o (X,{mathcal {T}}_{2})} является открытым отображением (или, эквивалентно, замкнутым отображением).

Также из определений немедленно следуют данные утверждения:

• Непрерывное отображение f : X → Y {displaystyle f:X o Y} останется непрывным, если топологию на Y {displaystyle Y} заменить на более грубую (соответственно, топологию на X {displaystyle X} — на более тонкую).
• Открытое отображение f : X → Y {displaystyle f:X o Y} останется открытым, если топологию на Y {displaystyle Y} заменить на более тонкую (соответственно, топологию на X {displaystyle X} — на более грубую). Аналогичное утверждение верно для замкнутых отображений.

Решётка топологий

Множество топологий на X {displaystyle X} образует полную решётку относительно отношения ⊆ . {displaystyle subseteq .} Это значит, что произвольное семейство топологий имеет точную верхнюю и точную нижнюю грань. Точная нижняя грань — это просто пересечение топологий. С другой стороны, объединение топологий не обязательно является топологией, и точная верхняя грань семейства топологий — это топология, для которой их объединение является предбазой.

Любая полная решётка является также ограниченной, в случае топологий этому соответствуют понятия дискретной и антидискретной топологии.