16.04.2021

Циклическая группа


Циклическая группа — группа ( G , ⋅ ) {displaystyle (G,cdot )} , которая может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение: G = ⟨ a ⟩ {displaystyle G=langle a angle } .

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени g n {displaystyle g^{n}} будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению ( Z , + ) . {displaystyle (mathbb {Z} ,+).}

Свойства

  • Все циклические группы абелевы.
  • Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе Z n {displaystyle mathbb {Z} _{n}} = { 0 , 1 , … , n − 1 } {displaystyle {0,1,dots ,n-1}} со сложением по модулю n (её также обозначают Z / n Z {displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} } ), а каждая бесконечная — изоморфна Z {displaystyle mathbb {Z} } , группе целых чисел по сложению.
    • В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n.
  • Каждая подгруппа циклической группы циклична.
  • У циклической группы порядка n существует ровно φ(n) порождающих элементов, где φ — функция Эйлера.
  • Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).
  • Прямое произведение двух циклических групп порядков n {displaystyle n} и m {displaystyle m} циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.
    • Например, Z 12 {displaystyle mathbb {Z} _{12}} изоморфна Z 3 × Z 4 {displaystyle mathbb {Z} _{3} imes mathbb {Z} _{4}} , но не изоморфна Z 6 × Z 2 {displaystyle mathbb {Z} _{6} imes mathbb {Z} _{2}} .
  • Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа Z p n {displaystyle mathbb {Z} _{p^{n}}} , где p — простое число, или Z {displaystyle mathbb {Z} } .
  • Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).
  • Кольцо эндоморфизмов группы Z n {displaystyle mathbb {Z} _{n}} изоморфно кольцу Z n {displaystyle mathbb {Z} _{n}} . При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм Z n {displaystyle mathbb {Z} _{n}} , который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, тогда и только тогда, когда r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов Z n {displaystyle mathbb {Z} _{n}} изоморфна Z n × {displaystyle mathbb {Z} _{n}^{ imes }} .

Примеры

  • Группа корней из единицы степени n по умножению.
  • Группа Галуа любого конечного расширения конечного поля конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле F и конечная циклическая группа G, существует конечное расширение F, группой Галуа которого будет G.

Доказательства

Утверждение. Каждая подгруппа циклической группы циклична.

Доказательство. Пусть G {displaystyle G} — циклическая группа и H {displaystyle H} — подгруппа группы G {displaystyle G} . Если группа G {displaystyle G} тривиальна (состоит из одного элемента), то H = G {displaystyle H=G} и H {displaystyle H} циклична. Если H {displaystyle H} — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то H {displaystyle H} циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что G {displaystyle G} и H {displaystyle H} не являются тривиальными.

Пусть g {displaystyle g} — образующий элемент группы G {displaystyle G} , а n {displaystyle n} — наименьшее положительное целое число, такое что g n ∈ H {displaystyle g^{n}in H} . Утверждение: H = ⟨ g n ⟩ {displaystyle H=langle g^{n} angle }

⟨ g n ⟩ ⊆ H {displaystyle langle g^{n} angle subseteq H}
∀ a ∈ ⟨ g n ⟩   ∃ z ∈ Z ∣ a = ( g n ) z {displaystyle {forall ain langle g^{n} angle } {exists zin mathbb {Z} }mid {a=(g^{n})^{z}}} g n ∈ H ⇒ ( g n ) z ∈ H ⇒ a ∈ H {displaystyle g^{n}in HRightarrow (g^{n})^{z}in HRightarrow ain H} Следовательно, ⟨ g n ⟩ ⊆ H {displaystyle langle g^{n} angle subseteq H} .
H ⊆ ⟨ g n ⟩ {displaystyle Hsubseteq langle g^{n} angle }
Пусть h ∈ H {displaystyle hin H} . h ∈ H ⇒ h ∈ G ⇒ ∃ x ∈ Z ∣ h = g x {displaystyle hin HRightarrow hin GRightarrow exists xin {mathbb {Z} }mid h=g^{x}} . Согласно алгоритму деления с остатком ∃ q , r ∈ Z ∣ 0 ≤ r ≤ n − 1 ∧ x = q n + r {displaystyle exists q,rin {mathbb {Z} }mid 0leq rleq n-1land x=qn+r} h = g x = g q n + r = g q n g r = ( g n ) q g r ⇒ g r = h ( g n ) − q {displaystyle h=g^{x}=g^{qn+r}=g^{qn}g^{r}=(g^{n})^{q}g^{r}Rightarrow g^{r}=h(g^{n})^{-q}} . h , g n ∈ H ⇒ g r ∈ H {displaystyle h,g^{n}in HRightarrow g^{r}in H} . Исходя из того, каким образом мы выбрали n {displaystyle n} и того, что 0 ≤ r ≤ n − 1 {displaystyle 0leq rleq n-1} , делаем вывод, что r = 0 {displaystyle r=0} . r = 0 ⇒ h = ( g n ) q g 0 = ( g n ) q ∈ ⟨ g n ⟩ {displaystyle r=0Rightarrow h=(g^{n})^{q}g^{0}=(g^{n})^{q}in langle g^{n} angle } . Следовательно, H ⊆ ⟨ g n ⟩ {displaystyle Hsubseteq langle g^{n} angle } .

Похожие новости:

Закон вязкости Ньютона

Закон вязкости Ньютона
Закон вязкости (внутреннего трения) Ньютона — математическое выражение, связывающее касательное напряжение внутреннего трения τ {displaystyle au }

Тест Адлемана — Померанса — Румели

Тест Адлемана — Померанса — Румели
Тест Адлемана-Померанса-Румели (или Адлемана-Померанца-Румели, тест APR) — наиболее эффективный, детерминированный и безусловный на сегодняшний день тест простоты чисел, разработанный в 1983 году.

Абелева группа

Абелева группа
Абелева (или коммутативная) группа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа ( G , ∗

Бабий узел (теория узлов)

Бабий узел (теория узлов)
В теории узлов бабий узел — это составной узел, полученный соединением двух одинаковых трилистников. Узел тесно связан с прямым узлом, который тоже можно описать как соединение двух трилистников.
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Гранит - универсальный натуральный камень
Гранит - универсальный натуральный камень
Гранит – относящийся к премиальному классу строительный материал. Долговечность и красота...
Особенности профессионального выполнения демонтажа асфальта
Особенности профессионального выполнения демонтажа асфальта
Демонтаж отработавшего своё асфальтового покрытия - это процедура, которая проводится в...
Что такое техпластина и для чего она применяется
Что такое техпластина и для чего она применяется
Техническая пластина – одна из самых популярных резиновых изделий. Применяется в различных областях...
Все новости