09.04.2021

Список интегралов элементарных функций


Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе. В отличие от операции дифференцирования, интеграл от элементарной функции может не быть элементарной функцией. Например, из теоремы Лиувилля следует, что интеграл от e x 2 {displaystyle e^{x^{2}}} не является элементарной функцией. Таблицы известных первообразных оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры. На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных.

C {displaystyle C} использована как произвольная константа интегрирования, которую можно определить, если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. У каждой функции имеется бесконечное число первообразных.

Правила интегрирования функций

∫ C f ( x ) d x = C ∫ f ( x ) d x {displaystyle int Cf(x),dx=Cint f(x),dx} ∫ [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x {displaystyle int [f(x)+g(x)],dx=int f(x),dx+int g(x),dx} ∫ f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) ∫ g ( x ) d x − ∫ ( ∫ g ( x ) d x ) d f ( x ) {displaystyle int f(x)g(x),dx=f(x)int g(x),dx-int left(int g(x),dx ight),df(x)} ∫ f ( a x + b ) d x = 1 a F ( a x + b ) + C {displaystyle int f(ax+b),dx={1 over a}F(ax+b),+C}

Интегралы элементарных функций

Рациональные функции

∫ 0 d x = C {displaystyle int !0,dx=C} (первообразная от нуля есть константа, в любых пределах интегрирования интеграл от нуля равен нулю) ∫ a d x = a x + C {displaystyle int !a,dx=ax+C} ∫ x n d x = { x n + 1 n + 1 + C , n ≠ − 1 ln ⁡ | x | + C , n = − 1 {displaystyle int !x^{n},dx={egin{cases}{frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,&n eq -1ln left|x ight|+C,&n=-1end{cases}}} ∫ d x a 2 + x 2 = 1 a arctg x a + C = − 1 a arcctg x a + C {displaystyle int !{dx over {a^{2}+x^{2}}}={1 over a},operatorname {arctg} ,{frac {x}{a}}+C=-{1 over a},operatorname {arcctg} ,{frac {x}{a}}+C} Доказательство

Сделаем замену x = a tg ⁡ t {displaystyle x=aoperatorname {tg} t} , получим

∫ d x a 2 + x 2 = ∫ d ( a tg ⁡ t ) a 2 + ( a tg ⁡ t ) 2 = 1 a ∫ cos 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t d t = t a + C = 1 a arctg ⁡ x a + C . {displaystyle int !{dx over {a^{2}+x^{2}}}=int !{d(aoperatorname {tg} t) over a^{2}+(aoperatorname {tg} t)^{2}}={1 over a}int !{cos ^{2}t over cos ^{2}t}dt={t over a}+C={1 over a}operatorname {arctg} {x over a}+C.}

∫ d x x 2 − a 2 = 1 2 a ln ⁡ | x − a x + a | + C {displaystyle int !{dx over {x^{2}-a^{2}}}={1 over 2a}ln left|{x-a over {x+a}} ight|+C} («высокий логарифм»)

Логарифмы

∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x − x + C {displaystyle int !ln {x},dx=xln {x}-x+C} ∫ d x x ln ⁡ x = ln ⁡ | ln ⁡ x | + C {displaystyle int {frac {dx}{xln x}}=ln |ln x|+C} ∫ log b ⁡ x d x = x log b ⁡ x − x log b ⁡ e + C = x ln ⁡ x − 1 ln ⁡ b + C {displaystyle int !log _{b}{x},dx=xlog _{b}{x}-xlog _{b}{e}+C=x{frac {ln {x}-1}{ln b}}+C}

Экспоненциальные функции

∫ e x d x = e x + C {displaystyle int !e^{x},dx=e^{x}+C} ∫ a x d x = a x ln ⁡ a + C {displaystyle int !a^{x},dx={frac {a^{x}}{ln {a}}}+C}

Иррациональные функции

∫ d x a 2 − x 2 = arcsin ⁡ x a + C {displaystyle int !{dx over {sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=arcsin {x over a}+C} ∫ − d x a 2 − x 2 = arccos ⁡ x a + C {displaystyle int !{-dx over {sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=arccos {x over a}+C} ∫ d x x x 2 − a 2 = 1 a arcsec | x | a + C {displaystyle int !{dx over x{sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 over a},operatorname {arcsec} ,{|x| over a}+C} ∫ d x x 2 + a = ln ⁡ | x + x 2 + a | + C {displaystyle int !{dx over {sqrt {x^{2}+a}}}=ln left|{x+{sqrt {x^{2}+a}}} ight|+C} («длинный логарифм») ∫ x 2 + a d x = 1 2 ( x x 2 + a + a ln ⁡ | x + x 2 + a | ) + C {displaystyle int !{sqrt {x^{2}+a}},dx={1 over 2}({x}{sqrt {x^{2}+a}}+{a}ln |x+{sqrt {x^{2}+a}}|)+C} Доказательство

Пусть a < 0 {displaystyle a<0} , предположим также, что x ≥ 0 {displaystyle xgeq 0} . Воспользуемся гиперболическими функциями, сделаем замену x = − a ch ⁡ t , t ≥ 0 {displaystyle x={sqrt {-a}}operatorname {ch} t,tgeq 0}

∫ x 2 + a d x = ∫ ( − a ch ⁡ t ) 2 + a d ( − a ch ⁡ t ) = − a ∫ ch 2 ⁡ t − 1 sh ⁡ t d t = − a ∫ sh 2 ⁡ t d t = − a ∫ ch ⁡ 2 t − 1 2 d t = − a 2 ( sh ⁡ 2 t 2 − t ) + C 1 = − a 2 ( sh ⁡ t ch ⁡ t − t ) + C 1 {displaystyle {egin{aligned}int !{sqrt {x^{2}+a}}dx&=int {sqrt {({sqrt {-a}}operatorname {ch} t)^{2}+a}}d({sqrt {-a}}operatorname {ch} t)=-aint {sqrt {operatorname {ch} ^{2}t-1}}operatorname {sh} tdt&=-aint operatorname {sh} ^{2}tdt=-aint {operatorname {ch} 2t-1 over 2}dt={-a over 2}left({operatorname {sh} 2t over 2}-t ight)+C_{1}&={-a over 2}(operatorname {sh} toperatorname {ch} t-t)+C_{1}end{aligned}}}

Но

sh ⁡ t = ch 2 − 1 = x 2 − a − 1 = x 2 + a − a , {displaystyle operatorname {sh} t={sqrt {operatorname {ch} ^{2}-1}}={sqrt {{x^{2} over -a}-1}}={{sqrt {x^{2}+a}} over {sqrt {-a}}},} sh ⁡ t ch ⁡ t = x x 2 + a − a , {displaystyle operatorname {sh} toperatorname {ch} t=x{{sqrt {x^{2}+a}} over -a},} e t = sh ⁡ t + ch ⁡ t = x + x 2 + a − a . {displaystyle e^{t}=operatorname {sh} t+operatorname {ch} t={x+{sqrt {x^{2}+a}} over {sqrt {-a}}}.}

Поэтому

t = ln ⁡ x + x 2 + a − a . {displaystyle t=ln {x+{sqrt {x^{2}+a}} over {sqrt {-a}}}.}

Отсюда, включая логарифм знаменателя последней дроби в константу C, получаем

∫ x 2 + a d x = x 2 x 2 + a + a 2 ln ⁡ | x + x 2 + a | + C {displaystyle int !{sqrt {x^{2}+a}},dx={x over 2}{sqrt {x^{2}+a}}+{a over 2}ln |x+{sqrt {x^{2}+a}}|+C}

Если x < 0 {displaystyle x<0} , то заменой x = − t , t > 0 {displaystyle x=-t,t>0} сводим интеграл к уже рассмотренному случаю. Если же a > 0 {displaystyle a>0} , то делаем замену x = a sh ⁡ t {displaystyle x={sqrt {a}}operatorname {sh} t} и проводим рассуждения, аналогичные рассмотренному случаю.

Тригонометрические функции

∫ sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x + C {displaystyle int !sin {x},dx=-cos {x}+C} ∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C {displaystyle int !cos {x},dx=sin {x}+C} ∫ tg x d x = − ln ⁡ | cos ⁡ x | + C {displaystyle int !operatorname {tg} ,{x},dx=-ln {left|cos {x} ight|}+C} Доказательство

∫ tg x d x = ∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x = − ∫ d ( cos ⁡ x ) cos ⁡ x = − ln ⁡ | cos ⁡ x | + C {displaystyle int !operatorname {tg} ,{x},dx=int {frac {sin x}{cos x}}dx=-int {frac {d(cos x)}{cos x}}=-ln |cos x|+C}

∫ ctg x d x = ln ⁡ | sin ⁡ x | + C {displaystyle int !operatorname {ctg} ,{x},dx=ln {left|sin {x} ight|}+C} Доказательство

∫ ctg x d x = ∫ cos ⁡ x sin ⁡ x d x = ∫ d ( sin ⁡ x ) sin ⁡ x = ln ⁡ | sin ⁡ x | + C {displaystyle int !operatorname {ctg} ,{x},dx=int {frac {cos x}{sin x}}dx=int {frac {d(sin x)}{sin x}}=ln |sin x|+C}

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ | sec ⁡ x + tg x | + C {displaystyle int !sec {x},dx=ln {left|sec {x}+operatorname {tg} ,{x} ight|}+C} ∫ cosec ⁡ x d x = − ln ⁡ | cosec ⁡ x + ctg x | + C {displaystyle int !operatorname {cosec} {x},dx=-ln {left|operatorname {cosec} {x}+operatorname {ctg} ,{x} ight|}+C} ∫ sec 2 ⁡ x d x = ∫ d x cos 2 ⁡ x = tg x + C {displaystyle int !sec ^{2}x,dx=int !{dx over cos ^{2}x}=operatorname {tg} ,x+C} ∫ cosec 2 ⁡ x d x = ∫ d x sin 2 ⁡ x = − ctg x + C {displaystyle int !operatorname {cosec} ^{2}x,dx=int !{dx over sin ^{2}x}=-operatorname {ctg} ,x+C} ∫ sec ⁡ x tg x d x = sec ⁡ x + C {displaystyle int !sec {x},operatorname {tg} ,{x},dx=sec {x}+C} ∫ cosec ⁡ x ctg x d x = − cosec ⁡ x + C {displaystyle int !operatorname {cosec} {x},operatorname {ctg} ,{x},dx=-operatorname {cosec} {x}+C} ∫ sin 2 ⁡ x d x = 1 2 ( x − sin ⁡ x cos ⁡ x ) + C {displaystyle int !sin ^{2}x,dx={frac {1}{2}}(x-sin xcos x)+C} ∫ cos 2 ⁡ x d x = 1 2 ( x + sin ⁡ x cos ⁡ x ) + C {displaystyle int !cos ^{2}x,dx={frac {1}{2}}(x+sin xcos x)+C} ∫ sin n ⁡ x d x = − sin n − 1 ⁡ x cos ⁡ x n + n − 1 n ∫ sin n − 2 ⁡ x d x , n ∈ N , n ⩾ 2 {displaystyle int !sin ^{n}x,dx=-{frac {sin ^{n-1}{x}cos {x}}{n}}+{frac {n-1}{n}}int !sin ^{n-2}{x},dx,nin mathbb {N} ,ngeqslant 2} ∫ cos n ⁡ x d x = cos n − 1 ⁡ x sin ⁡ x n + n − 1 n ∫ cos n − 2 ⁡ x d x , n ∈ N , n ⩾ 2 {displaystyle int !cos ^{n}x,dx={frac {cos ^{n-1}{x}sin {x}}{n}}+{frac {n-1}{n}}int !cos ^{n-2}{x},dx,nin mathbb {N} ,ngeqslant 2} ∫ arctg x d x = x arctg x − 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 2 ) + C {displaystyle int !operatorname {arctg} ,{x},dx=x,operatorname {arctg} ,{x}-{frac {1}{2}}ln {left(1+x^{2} ight)}+C}

Гиперболические функции

∫ sh x d x = ch x + C {displaystyle int operatorname {sh} ,x,dx=operatorname {ch} ,x+C} ∫ ch x d x = sh x + C {displaystyle int operatorname {ch} ,x,dx=operatorname {sh} ,x+C} ∫ d x ch 2 x = th x + C {displaystyle int {frac {dx}{operatorname {ch} ^{2},x}}=operatorname {th} ,x+C} ∫ d x sh 2 x = − cth x + C {displaystyle int {frac {dx}{operatorname {sh} ^{2},x}}=-operatorname {cth} ,x+C} ∫ th x d x = ln ⁡ | ch x | + C {displaystyle int operatorname {th} ,x,dx=ln |operatorname {ch} ,x|+C} ∫ csch x d x = ln ⁡ | th x 2 | + C {displaystyle int operatorname {csch} ,x,dx=ln left|operatorname {th} ,{x over 2} ight|+C} ∫ sech x d x = arctg sh x + C {displaystyle int operatorname {sech} ,x,dx=operatorname {arctg} ,operatorname {sh} ,x+C} также ∫ sech x d x = 2 arctg ( e x ) + C {displaystyle int operatorname {sech} ,x,dx=2,operatorname {arctg} ,(e^{x})+C} также ∫ sech x d x = 2 arctg ( th x 2 ) + C {displaystyle int operatorname {sech} ,x,dx=2,operatorname {arctg} ,left(operatorname {th} ,{frac {x}{2}} ight)+C} ∫ cth x d x = ln ⁡ | sh x | + C {displaystyle int operatorname {cth} ,x,dx=ln |operatorname {sh} ,x|+C} Доказательства

Доказательство формулы ∫ sech x d x = arctg ⁡ sh x + C {displaystyle int operatorname {sech} ,x,dx=operatorname {arctg} operatorname {sh} ,x+C} :

∫ sech x d x = ∫ d x ch ⁡ x = ∫ ch ⁡ x ch 2 ⁡ x d x = ∫ d ( sh ⁡ x ) 1 + sh 2 ⁡ x = arctg ⁡ sh ⁡ x + C {displaystyle int operatorname {sech} ,x,dx=int {dx over operatorname {ch} x}=int {operatorname {ch} x over operatorname {ch} ^{2}x}dx=int {d(operatorname {sh} x) over 1+operatorname {sh} ^{2}x}=operatorname {arctg} operatorname {sh} x+C}

Доказательство формулы ∫ sech x d x = 2 arctg ⁡ ( e x ) + C {displaystyle int operatorname {sech} ,x,dx=2operatorname {arctg} (e^{x})+C} : ∫ sech x d x = ∫ d x ch ⁡ x = 2 ∫ d x e x + e − x = 2 ∫ d e x 1 + e 2 x = 2 arctg ⁡ ( e x ) + C {displaystyle int operatorname {sech} ,x,dx=int {dx over operatorname {ch} x}=2int {dx over e^{x}+e^{-x}}=2int {d{e^{x}} over 1+e^{2x}}=2operatorname {arctg} (e^{x})+C} .

Доказательство формулы ∫ sech x d x = 2 arctg ( th x 2 ) + C {displaystyle int operatorname {sech} ,x,dx=2,operatorname {arctg} ,left(operatorname {th} ,{frac {x}{2}} ight)+C} :

∫ sech x d x = ∫ 1 ch ⁡ x d x = ∫ d x sh 2 ⁡ x 2 + ch 2 ⁡ x 2 = 2 ∫ d ( x 2 ) ch 2 ⁡ x 2 ( 1 + th 2 ⁡ x 2 ) = 2 ∫ d ( th ⁡ x 2 ) 1 + th 2 ⁡ x 2 = 2 arctg ( th x 2 ) + C {displaystyle {egin{aligned}int operatorname {sech} ,x,dx&=int {1 over operatorname {ch} x}dx=int {dx over operatorname {sh} ^{2}{x over 2}+operatorname {ch} ^{2}{x over 2}}=2int {d({x over 2}) over operatorname {ch} ^{2}{x over 2}(1+operatorname {th} ^{2}{x over 2})}&=2int {d(operatorname {th} {x over 2}) over 1+operatorname {th} ^{2}{x over 2}}=2,operatorname {arctg} ,left(operatorname {th} ,{frac {x}{2}} ight)+Cend{aligned}}}

Специальные функции

∫ Ci ⁡ ( x ) d x = x Ci ⁡ ( x ) − sin ⁡ x {displaystyle int operatorname {Ci} (x),dx=xoperatorname {Ci} (x)-sin x} ∫ Si ⁡ ( x ) d x = x Si ⁡ ( x ) + cos ⁡ x {displaystyle int operatorname {Si} (x),dx=xoperatorname {Si} (x)+cos x} ∫ Ei ⁡ ( x ) d x = x Ei ⁡ ( x ) − e x {displaystyle int operatorname {Ei} (x),dx=xoperatorname {Ei} (x)-e^{x}} ∫ li ⁡ ( x ) d x = x li ⁡ ( x ) − Ei ⁡ ( 2 ln ⁡ x ) {displaystyle int operatorname {li} (x),dx=xoperatorname {li} (x)-operatorname {Ei} (2ln x)} ∫ li ⁡ ( x ) x d x = ln ⁡ x li ⁡ ( x ) − x {displaystyle int {frac {operatorname {li} (x)}{x}},dx=ln x,operatorname {li} (x)-x} ∫ erf ⁡ ( x ) d x = e − x 2 π + x erf ⁡ ( x ) {displaystyle int operatorname {erf} (x),dx={frac {e^{-x^{2}}}{sqrt {pi }}}+xoperatorname {erf} (x)}

Похожие новости:

Дифференциальная теория Галуа

Дифференциальная теория Галуа
Дифференциальная теория Галуа — раздел математики, который изучает группы Галуа дифференциальных уравнений. Предпосылки и основная идея В 1830-х годах Лиувилль создал теорию интегрирования в

Многозначная функция

Многозначная функция
Многозначная функция — обобщение понятия функции, допускающее наличие нескольких значений функции для одного аргумента. Определение Функция F {displaystyle

Список интегралов элементарных функций

Список интегралов элементарных функций
Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе. В отличие от операции дифференцирования, интеграл от элементарной функции может не быть элементарной функцией. Например,

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии
Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит: Из этого следует, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Все о гидроизоляции фундамента
Все о гидроизоляции фундамента
Дожди, грунтовые и паводковые воды, а также воды, вытекающие из сетей водопровода, канализации и...
«Строительный дом» поставляет на рынок песок
«Строительный дом» поставляет на рынок песок
Строительный песок – это особый вид заполнителя, который отличается исключительными прочностными...
Трансформаторы напряжения
Трансформаторы напряжения
Трансформатор напряжения (ТН) предназначен для преобразования высоковольтного тока линий...
Все новости