Список интегралов элементарных функций
Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе. В отличие от операции дифференцирования, интеграл от элементарной функции может не быть элементарной функцией. Например, из теоремы Лиувилля следует, что интеграл от e x 2 {displaystyle e^{x^{2}}} не является элементарной функцией. Таблицы известных первообразных оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры. На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных.
C {displaystyle C} использована как произвольная константа интегрирования, которую можно определить, если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. У каждой функции имеется бесконечное число первообразных.
Правила интегрирования функций
∫ C f ( x ) d x = C ∫ f ( x ) d x {displaystyle int Cf(x),dx=Cint f(x),dx} ∫ [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x {displaystyle int [f(x)+g(x)],dx=int f(x),dx+int g(x),dx} ∫ f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) ∫ g ( x ) d x − ∫ ( ∫ g ( x ) d x ) d f ( x ) {displaystyle int f(x)g(x),dx=f(x)int g(x),dx-int left(int g(x),dx ight),df(x)} ∫ f ( a x + b ) d x = 1 a F ( a x + b ) + C {displaystyle int f(ax+b),dx={1 over a}F(ax+b),+C}Интегралы элементарных функций
Рациональные функции
∫ 0 d x = C {displaystyle int !0,dx=C} (первообразная от нуля есть константа, в любых пределах интегрирования интеграл от нуля равен нулю) ∫ a d x = a x + C {displaystyle int !a,dx=ax+C} ∫ x n d x = { x n + 1 n + 1 + C , n ≠ − 1 ln | x | + C , n = − 1 {displaystyle int !x^{n},dx={egin{cases}{frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,&n eq -1ln left|x ight|+C,&n=-1end{cases}}} ∫ d x a 2 + x 2 = 1 a arctg x a + C = − 1 a arcctg x a + C {displaystyle int !{dx over {a^{2}+x^{2}}}={1 over a},operatorname {arctg} ,{frac {x}{a}}+C=-{1 over a},operatorname {arcctg} ,{frac {x}{a}}+C} ДоказательствоСделаем замену x = a tg t {displaystyle x=aoperatorname {tg} t} , получим
∫ d x a 2 + x 2 = ∫ d ( a tg t ) a 2 + ( a tg t ) 2 = 1 a ∫ cos 2 t cos 2 t d t = t a + C = 1 a arctg x a + C . {displaystyle int !{dx over {a^{2}+x^{2}}}=int !{d(aoperatorname {tg} t) over a^{2}+(aoperatorname {tg} t)^{2}}={1 over a}int !{cos ^{2}t over cos ^{2}t}dt={t over a}+C={1 over a}operatorname {arctg} {x over a}+C.}
∫ d x x 2 − a 2 = 1 2 a ln | x − a x + a | + C {displaystyle int !{dx over {x^{2}-a^{2}}}={1 over 2a}ln left|{x-a over {x+a}} ight|+C} («высокий логарифм»)Логарифмы
∫ ln x d x = x ln x − x + C {displaystyle int !ln {x},dx=xln {x}-x+C} ∫ d x x ln x = ln | ln x | + C {displaystyle int {frac {dx}{xln x}}=ln |ln x|+C} ∫ log b x d x = x log b x − x log b e + C = x ln x − 1 ln b + C {displaystyle int !log _{b}{x},dx=xlog _{b}{x}-xlog _{b}{e}+C=x{frac {ln {x}-1}{ln b}}+C}Экспоненциальные функции
∫ e x d x = e x + C {displaystyle int !e^{x},dx=e^{x}+C} ∫ a x d x = a x ln a + C {displaystyle int !a^{x},dx={frac {a^{x}}{ln {a}}}+C}Иррациональные функции
∫ d x a 2 − x 2 = arcsin x a + C {displaystyle int !{dx over {sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=arcsin {x over a}+C} ∫ − d x a 2 − x 2 = arccos x a + C {displaystyle int !{-dx over {sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=arccos {x over a}+C} ∫ d x x x 2 − a 2 = 1 a arcsec | x | a + C {displaystyle int !{dx over x{sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 over a},operatorname {arcsec} ,{|x| over a}+C} ∫ d x x 2 + a = ln | x + x 2 + a | + C {displaystyle int !{dx over {sqrt {x^{2}+a}}}=ln left|{x+{sqrt {x^{2}+a}}} ight|+C} («длинный логарифм») ∫ x 2 + a d x = 1 2 ( x x 2 + a + a ln | x + x 2 + a | ) + C {displaystyle int !{sqrt {x^{2}+a}},dx={1 over 2}({x}{sqrt {x^{2}+a}}+{a}ln |x+{sqrt {x^{2}+a}}|)+C} ДоказательствоПусть a < 0 {displaystyle a<0} , предположим также, что x ≥ 0 {displaystyle xgeq 0} . Воспользуемся гиперболическими функциями, сделаем замену x = − a ch t , t ≥ 0 {displaystyle x={sqrt {-a}}operatorname {ch} t,tgeq 0}
∫ x 2 + a d x = ∫ ( − a ch t ) 2 + a d ( − a ch t ) = − a ∫ ch 2 t − 1 sh t d t = − a ∫ sh 2 t d t = − a ∫ ch 2 t − 1 2 d t = − a 2 ( sh 2 t 2 − t ) + C 1 = − a 2 ( sh t ch t − t ) + C 1 {displaystyle {egin{aligned}int !{sqrt {x^{2}+a}}dx&=int {sqrt {({sqrt {-a}}operatorname {ch} t)^{2}+a}}d({sqrt {-a}}operatorname {ch} t)=-aint {sqrt {operatorname {ch} ^{2}t-1}}operatorname {sh} tdt&=-aint operatorname {sh} ^{2}tdt=-aint {operatorname {ch} 2t-1 over 2}dt={-a over 2}left({operatorname {sh} 2t over 2}-t ight)+C_{1}&={-a over 2}(operatorname {sh} toperatorname {ch} t-t)+C_{1}end{aligned}}}
Но
sh t = ch 2 − 1 = x 2 − a − 1 = x 2 + a − a , {displaystyle operatorname {sh} t={sqrt {operatorname {ch} ^{2}-1}}={sqrt {{x^{2} over -a}-1}}={{sqrt {x^{2}+a}} over {sqrt {-a}}},} sh t ch t = x x 2 + a − a , {displaystyle operatorname {sh} toperatorname {ch} t=x{{sqrt {x^{2}+a}} over -a},} e t = sh t + ch t = x + x 2 + a − a . {displaystyle e^{t}=operatorname {sh} t+operatorname {ch} t={x+{sqrt {x^{2}+a}} over {sqrt {-a}}}.}
Поэтому
t = ln x + x 2 + a − a . {displaystyle t=ln {x+{sqrt {x^{2}+a}} over {sqrt {-a}}}.}
Отсюда, включая логарифм знаменателя последней дроби в константу C, получаем
∫ x 2 + a d x = x 2 x 2 + a + a 2 ln | x + x 2 + a | + C {displaystyle int !{sqrt {x^{2}+a}},dx={x over 2}{sqrt {x^{2}+a}}+{a over 2}ln |x+{sqrt {x^{2}+a}}|+C}
Если x < 0 {displaystyle x<0} , то заменой x = − t , t > 0 {displaystyle x=-t,t>0} сводим интеграл к уже рассмотренному случаю. Если же a > 0 {displaystyle a>0} , то делаем замену x = a sh t {displaystyle x={sqrt {a}}operatorname {sh} t} и проводим рассуждения, аналогичные рассмотренному случаю.
Тригонометрические функции
∫ sin x d x = − cos x + C {displaystyle int !sin {x},dx=-cos {x}+C} ∫ cos x d x = sin x + C {displaystyle int !cos {x},dx=sin {x}+C} ∫ tg x d x = − ln | cos x | + C {displaystyle int !operatorname {tg} ,{x},dx=-ln {left|cos {x} ight|}+C} Доказательство∫ tg x d x = ∫ sin x cos x d x = − ∫ d ( cos x ) cos x = − ln | cos x | + C {displaystyle int !operatorname {tg} ,{x},dx=int {frac {sin x}{cos x}}dx=-int {frac {d(cos x)}{cos x}}=-ln |cos x|+C}
∫ ctg x d x = ln | sin x | + C {displaystyle int !operatorname {ctg} ,{x},dx=ln {left|sin {x} ight|}+C} Доказательство∫ ctg x d x = ∫ cos x sin x d x = ∫ d ( sin x ) sin x = ln | sin x | + C {displaystyle int !operatorname {ctg} ,{x},dx=int {frac {cos x}{sin x}}dx=int {frac {d(sin x)}{sin x}}=ln |sin x|+C}
∫ sec x d x = ln | sec x + tg x | + C {displaystyle int !sec {x},dx=ln {left|sec {x}+operatorname {tg} ,{x} ight|}+C} ∫ cosec x d x = − ln | cosec x + ctg x | + C {displaystyle int !operatorname {cosec} {x},dx=-ln {left|operatorname {cosec} {x}+operatorname {ctg} ,{x} ight|}+C} ∫ sec 2 x d x = ∫ d x cos 2 x = tg x + C {displaystyle int !sec ^{2}x,dx=int !{dx over cos ^{2}x}=operatorname {tg} ,x+C} ∫ cosec 2 x d x = ∫ d x sin 2 x = − ctg x + C {displaystyle int !operatorname {cosec} ^{2}x,dx=int !{dx over sin ^{2}x}=-operatorname {ctg} ,x+C} ∫ sec x tg x d x = sec x + C {displaystyle int !sec {x},operatorname {tg} ,{x},dx=sec {x}+C} ∫ cosec x ctg x d x = − cosec x + C {displaystyle int !operatorname {cosec} {x},operatorname {ctg} ,{x},dx=-operatorname {cosec} {x}+C} ∫ sin 2 x d x = 1 2 ( x − sin x cos x ) + C {displaystyle int !sin ^{2}x,dx={frac {1}{2}}(x-sin xcos x)+C} ∫ cos 2 x d x = 1 2 ( x + sin x cos x ) + C {displaystyle int !cos ^{2}x,dx={frac {1}{2}}(x+sin xcos x)+C} ∫ sin n x d x = − sin n − 1 x cos x n + n − 1 n ∫ sin n − 2 x d x , n ∈ N , n ⩾ 2 {displaystyle int !sin ^{n}x,dx=-{frac {sin ^{n-1}{x}cos {x}}{n}}+{frac {n-1}{n}}int !sin ^{n-2}{x},dx,nin mathbb {N} ,ngeqslant 2} ∫ cos n x d x = cos n − 1 x sin x n + n − 1 n ∫ cos n − 2 x d x , n ∈ N , n ⩾ 2 {displaystyle int !cos ^{n}x,dx={frac {cos ^{n-1}{x}sin {x}}{n}}+{frac {n-1}{n}}int !cos ^{n-2}{x},dx,nin mathbb {N} ,ngeqslant 2} ∫ arctg x d x = x arctg x − 1 2 ln ( 1 + x 2 ) + C {displaystyle int !operatorname {arctg} ,{x},dx=x,operatorname {arctg} ,{x}-{frac {1}{2}}ln {left(1+x^{2} ight)}+C}Гиперболические функции
∫ sh x d x = ch x + C {displaystyle int operatorname {sh} ,x,dx=operatorname {ch} ,x+C} ∫ ch x d x = sh x + C {displaystyle int operatorname {ch} ,x,dx=operatorname {sh} ,x+C} ∫ d x ch 2 x = th x + C {displaystyle int {frac {dx}{operatorname {ch} ^{2},x}}=operatorname {th} ,x+C} ∫ d x sh 2 x = − cth x + C {displaystyle int {frac {dx}{operatorname {sh} ^{2},x}}=-operatorname {cth} ,x+C} ∫ th x d x = ln | ch x | + C {displaystyle int operatorname {th} ,x,dx=ln |operatorname {ch} ,x|+C} ∫ csch x d x = ln | th x 2 | + C {displaystyle int operatorname {csch} ,x,dx=ln left|operatorname {th} ,{x over 2} ight|+C} ∫ sech x d x = arctg sh x + C {displaystyle int operatorname {sech} ,x,dx=operatorname {arctg} ,operatorname {sh} ,x+C} также ∫ sech x d x = 2 arctg ( e x ) + C {displaystyle int operatorname {sech} ,x,dx=2,operatorname {arctg} ,(e^{x})+C} также ∫ sech x d x = 2 arctg ( th x 2 ) + C {displaystyle int operatorname {sech} ,x,dx=2,operatorname {arctg} ,left(operatorname {th} ,{frac {x}{2}} ight)+C} ∫ cth x d x = ln | sh x | + C {displaystyle int operatorname {cth} ,x,dx=ln |operatorname {sh} ,x|+C} ДоказательстваДоказательство формулы ∫ sech x d x = arctg sh x + C {displaystyle int operatorname {sech} ,x,dx=operatorname {arctg} operatorname {sh} ,x+C} :
∫ sech x d x = ∫ d x ch x = ∫ ch x ch 2 x d x = ∫ d ( sh x ) 1 + sh 2 x = arctg sh x + C {displaystyle int operatorname {sech} ,x,dx=int {dx over operatorname {ch} x}=int {operatorname {ch} x over operatorname {ch} ^{2}x}dx=int {d(operatorname {sh} x) over 1+operatorname {sh} ^{2}x}=operatorname {arctg} operatorname {sh} x+C}Доказательство формулы ∫ sech x d x = 2 arctg ( e x ) + C {displaystyle int operatorname {sech} ,x,dx=2operatorname {arctg} (e^{x})+C} : ∫ sech x d x = ∫ d x ch x = 2 ∫ d x e x + e − x = 2 ∫ d e x 1 + e 2 x = 2 arctg ( e x ) + C {displaystyle int operatorname {sech} ,x,dx=int {dx over operatorname {ch} x}=2int {dx over e^{x}+e^{-x}}=2int {d{e^{x}} over 1+e^{2x}}=2operatorname {arctg} (e^{x})+C} .
Доказательство формулы ∫ sech x d x = 2 arctg ( th x 2 ) + C {displaystyle int operatorname {sech} ,x,dx=2,operatorname {arctg} ,left(operatorname {th} ,{frac {x}{2}} ight)+C} :
∫ sech x d x = ∫ 1 ch x d x = ∫ d x sh 2 x 2 + ch 2 x 2 = 2 ∫ d ( x 2 ) ch 2 x 2 ( 1 + th 2 x 2 ) = 2 ∫ d ( th x 2 ) 1 + th 2 x 2 = 2 arctg ( th x 2 ) + C {displaystyle {egin{aligned}int operatorname {sech} ,x,dx&=int {1 over operatorname {ch} x}dx=int {dx over operatorname {sh} ^{2}{x over 2}+operatorname {ch} ^{2}{x over 2}}=2int {d({x over 2}) over operatorname {ch} ^{2}{x over 2}(1+operatorname {th} ^{2}{x over 2})}&=2int {d(operatorname {th} {x over 2}) over 1+operatorname {th} ^{2}{x over 2}}=2,operatorname {arctg} ,left(operatorname {th} ,{frac {x}{2}} ight)+Cend{aligned}}}
Добавить комментарий!