01.03.2021

Начальные и граничные условия


В теории дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия — дополнение к основному дифференциальному уравнению (обыкновенному или в частных производных), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой области соответственно.

Обычно дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а целое их семейство. Начальные и граничные условия позволяют выбрать из него одно, соответствующее реальному физическому процессу или явлению. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема существования и единственности решения задачи с начальным условием (т. н. задачи Коши). Для уравнений в частных производных получены некоторые теоремы существования и единственности решений для определённых классов начальных и краевых задач.

Терминология

Иногда к граничным относят и начальные условия в нестационарных задачах, таких как решение гиперболических или параболических уравнений.

Для стационарных задач существует разделение граничных условий на главные и естественные.

Главные условия обычно имеют вид u ( ∂ Ω ) = g {displaystyle u(partial Omega )=g} , где ∂ Ω {displaystyle partial Omega } — граница области Ω {displaystyle Omega } .

Естественные условия содержат также и производную решения по нормали к границе.

Пример

Уравнение d 2 y d t 2 = − g {displaystyle {frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-g} описывает движение тела в поле земного тяготения. Ему удовлетворяет любая квадратичная функция вида y ( t ) = − g t 2 / 2 + a t + b , {displaystyle y(t)=-gt^{2}/2+at+b,} где a , b {displaystyle a,b} — произвольные числа. Для выделения конкретного закона движения необходимо указать начальную координату тела и его скорость, то есть начальные условия.

Корректность постановки граничных условий

Задачи математической физики описывают реальные физические процессы, а потому их постановка должна удовлетворять следующим естественным требованиям:

  • Решение должно существовать в каком-либо классе функций;
  • Решение должно быть единственным в каком-либо классе функций;
  • Решение должно непрерывно зависеть от данных (начальных и граничных условий, свободного члена, коэффициентов и т. д.).
  • Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента приближённо, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не будет существенно зависеть от погрешности измерений. Математически это требование можно записать, например, так (для независимости от свободного члена):

    Пусть задано два дифференциальных уравнения: L u = F 1 ,   L u = F 2 {displaystyle Lu=F_{1},~Lu=F_{2}} с одинаковыми дифференциальными операторами и одинаковыми граничными условиями, тогда их решения будут непрерывно зависеть от свободного члена, если:

    ∀ ε > 0   ∃ δ > 0 :   ( ‖ F 1 − F 2 ‖ < δ ) ⇒ ( ‖ u 1 − u 2 ‖ < ε ) {displaystyle forall varepsilon >0~exists delta >0:~left(|F_{1}-F_{2}|<delta ight)Rightarrow left(|u_{1}-u_{2}|<varepsilon ight)} , где u 1 {displaystyle u_{1}} , u 2 {displaystyle u_{2}} - решения соответствующих уравнений.

    Множество функций, для которых выполняются перечисленные требования, называется классом корректности. Некорректную постановку граничных условий хорошо иллюстрирует пример Адамара.


    Похожие новости:

    Далецкий, Юрий Львович

    Далецкий, Юрий Львович
    Юрий Львович Далецкий (16 декабря 1926, Чернигов — 12 декабря 1997, Киев) — советский и украинский математик, академик НАН Украины. Специалист в области дифференциальных уравнений в бесконечномерных

    Тринадцатая проблема Гильберта

    Тринадцатая проблема Гильберта
    Тринадцатая проблема Гильберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она была мотивирована применением методов номографии

    Джураев, Тухтамурад Джураевич

    Джураев, Тухтамурад Джураевич
    Тухтамурад Джураевич Джураев (Toʻxtamurod Joʻrayevich Joʻrayev) (25.10.1934—14.09.2009) — узбекский и советский ученый-математик, доктор физико-математических наук, действительный член АН РУз.,

    Амелькин, Владимир Васильевич

    Амелькин, Владимир Васильевич
    Амелькин Владимир Васильевич (белор. Амелькин Уладзімір Васільевіч; род. 3 апреля 1943, Наманган) — белорусский математик, специалист в области дифференциальных уравнений, доктор
    Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

    Добавить комментарий!

    Ваше Имя:
    Ваш E-Mail:
    Введите два слова, показанных на изображении: *
    Популярные новости
    Купить ПЭТ оптом
    Купить ПЭТ оптом
    Полиэтилентерефталат представляет собой распространенный полиэфир и производится под разными...
    Виды тепловых пунктов
    Виды тепловых пунктов
    Тепловые пункты – высокотехнологичное оборудование, с помощью которого во внутренние системы от...
    Качественный многофункциональный инструмент и мотокосы
    Качественный многофункциональный инструмент и мотокосы
    Универсальный инструмент обеспечит эффективное и безопасное выполнение широкого спектра работ......
    Все новости