Начальные и граничные условия

В теории дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия — дополнение к основному дифференциальному уравнению (обыкновенному или в частных производных), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой области соответственно.

Обычно дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а целое их семейство. Начальные и граничные условия позволяют выбрать из него одно, соответствующее реальному физическому процессу или явлению. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема существования и единственности решения задачи с начальным условием (т. н. задачи Коши). Для уравнений в частных производных получены некоторые теоремы существования и единственности решений для определённых классов начальных и краевых задач.

Терминология

Иногда к граничным относят и начальные условия в нестационарных задачах, таких как решение гиперболических или параболических уравнений.

Для стационарных задач существует разделение граничных условий на главные и естественные.

Главные условия обычно имеют вид u ( ∂ Ω ) = g {displaystyle u(partial Omega )=g} , где ∂ Ω {displaystyle partial Omega } — граница области Ω {displaystyle Omega } .

Естественные условия содержат также и производную решения по нормали к границе.

Пример

Уравнение d 2 y d t 2 = − g {displaystyle {frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-g} описывает движение тела в поле земного тяготения. Ему удовлетворяет любая квадратичная функция вида y ( t ) = − g t 2 / 2 + a t + b , {displaystyle y(t)=-gt^{2}/2+at+b,} где a , b {displaystyle a,b} — произвольные числа. Для выделения конкретного закона движения необходимо указать начальную координату тела и его скорость, то есть начальные условия.

Корректность постановки граничных условий

Задачи математической физики описывают реальные физические процессы, а потому их постановка должна удовлетворять следующим естественным требованиям:

Решение должно существовать в каком-либо классе функций;

Решение должно быть единственным в каком-либо классе функций;

Решение должно непрерывно зависеть от данных (начальных и граничных условий, свободного члена, коэффициентов и т. д.).

Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента приближённо, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не будет существенно зависеть от погрешности измерений. Математически это требование можно записать, например, так (для независимости от свободного члена):

Пусть задано два дифференциальных уравнения: L u = F 1 ,   L u = F 2 {displaystyle Lu=F_{1},~Lu=F_{2}} с одинаковыми дифференциальными операторами и одинаковыми граничными условиями, тогда их решения будут непрерывно зависеть от свободного члена, если:

∀ ε > 0   ∃ δ > 0 :   ( ‖ F 1 − F 2 ‖ < δ ) ⇒ ( ‖ u 1 − u 2 ‖ < ε ) {displaystyle forall varepsilon >0~exists delta >0:~left(|F_{1}-F_{2}|<delta ight)Rightarrow left(|u_{1}-u_{2}|<varepsilon ight)} , где u 1 {displaystyle u_{1}} , u 2 {displaystyle u_{2}} - решения соответствующих уравнений.

Множество функций, для которых выполняются перечисленные требования, называется классом корректности. Некорректную постановку граничных условий хорошо иллюстрирует пример Адамара.