24.02.2021

Эпсилон-окрестность


ε {displaystyle varepsilon } -окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на ε {displaystyle varepsilon } .

Определения

  • Пусть ( X , ϱ ) {displaystyle (X,varrho )} есть метрическое пространство, x 0 ∈ X , {displaystyle x_{0}in X,} и ε > 0. {displaystyle varepsilon >0.} ε {displaystyle varepsilon } -окрестностью x 0 {displaystyle x_{0}} называется множество
U ε ( x 0 ) = { x ∈ X ∣ ϱ ( x , x 0 ) < ε } . {displaystyle U_{varepsilon }(x_{0})={xin Xmid varrho (x,x_{0})<varepsilon }.}
  • Проколотой ε {displaystyle varepsilon } -окрестностью точки x 0 {displaystyle x_{0}} называется её ε {displaystyle varepsilon } -окрестность без неё самой:
U ˙ ε ( x 0 ) = U ε ( x 0 ) ∖ x 0 {displaystyle {dot {U}}_{varepsilon }(x_{0})=U_{varepsilon }(x_{0})ackslash x_{0}}
  • Пусть дано подмножество A ⊂ X . {displaystyle Asubset X.} Тогда ε {displaystyle varepsilon } -окрестностью этого множества называется множество
U ε ( A ) = ⋃ x ∈ A U ε ( x ) . {displaystyle U_{varepsilon }(A)=igcup limits _{xin A}U_{varepsilon }(x).}

Замечания

  • ε {displaystyle varepsilon } -окрестностью точки x 0 {displaystyle x_{0}} таким образом называется открытый шар с центром в x 0 {displaystyle x_{0}} и радиусом ε . {displaystyle varepsilon .}
  • Прямо из определения следует, что
U ε ( A ) = { x ∈ X ∣ ∃ y ∈ A ϱ ( x , y ) < ε } . {displaystyle U_{varepsilon }(A)={xin Xmid exists yin A;varrho (x,y)<varepsilon }.}
  • ε {displaystyle varepsilon } -окрестность является окрестностью и, в частности, открытым множеством.

Примеры

Пусть есть вещественная прямая R {displaystyle mathbb {R} } со стандартной метрикой ϱ ( x , y ) = | x − y | , x , y ∈ R . {displaystyle varrho (x,y)=|x-y|,;x,yin mathbb {R} .} Тогда

  • U 2 ( 1 ) = ( − 1 , 3 ) ; {displaystyle U_{2}(1)=(-1,3);}
  • U 1 ( [ 5 , 7 ] ) = ( 4 , 8 ) . {displaystyle U_{1}([5,7])=(4,8).}

Похожие новости:

Аддитивные сет-функции и меры

Аддитивные сет-функции и меры
Сет-функция — действительная числовая функция f :  2 Ω

Марковский момент времени

Марковский момент времени
Марковский момент времени (в теории случайных процессов) — это случайная величина, не зависящая от будущего рассматриваемого случайного процесса. Дискретный случай Пусть дана последовательность

Размерность Хаусдорфа

Размерность Хаусдорфа
Размерность Хаусдорфа, или хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными

Произведение Громова

Произведение Громова
Произведение Громова — расстояние, на котором две геодезические стартующих в одной точке начинают существенно расходиться. Названо в честь Громова. Произведение Громова используется, в частности
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Преимущества мытья окон профессионалами
Преимущества мытья окон профессионалами
Окна являются главным источником света в любом помещении. Стекла нуждаются в регулярном уходе. От...
Определение протечки воды тепловизором
Определение протечки воды тепловизором
Протечки воды могут стать причиной крайне негативных последствий. Во-первых, это порча собственного...
Стекловолоконная сетка для армирования: особенности, виды, характеристики
Стекловолоконная сетка для армирования: особенности, виды, характеристики
Развитие современных технологий позволяет выводить на рынок различную продукцию, в том числе...
Все новости