04.02.2021

Конструкция Proj


Proj — это конструкция, аналогичная конструкции аффинных схем как спектров колец, с помощью которой строятся схемы, обладающие свойствами проективных пространств и проективных многообразий.

В этой статье все кольца считаются коммутативными кольцами с единицей.

Proj градуированного кольца

Proj как множество

Пусть S {displaystyle S} — градуированное кольцо, где

S = ⨁ i ≥ 0 S i {displaystyle S=igoplus _{igeq 0}S_{i}}

есть разложение в прямую сумму, ассоциированное с градуировкой.

Обозначим через S + {displaystyle S_{+}} идеал ⨁ i > 0 S i . {displaystyle igoplus _{i>0}S_{i}.} Определим множество Proj S как множество всех однородных простых идеалов, не содержащих S + . {displaystyle S_{+}.}

В дальнейшем мы иногда для краткости будем обозначать Proj S как X.

Proj как топологическое пространство

Мы можем определить топологию, называемую топологией Зарисского, на Proj S, определяя замкнутые множества как множества вида

V ( a ) = { p ∈ Proj S ∣ a ⊆ p } , {displaystyle V(a)={pin operatorname {Proj} ,Smid asubseteq p},}

где a — однородный идеал S. Как и в случае аффинных схем, легко проверяется, что V(a) — это замкнутые множества некоторой топологии на X.

Действительно, если ( a i ) i ∈ I {displaystyle (a_{i})_{iin I}} — семейство идеалов, то ⋂ V ( a i ) = V ( Σ a i ) {displaystyle igcap V(a_{i})=V(Sigma a_{i})} и если множество I конечно, то ⋃ V ( a i ) = V ( Π a i ) {displaystyle igcup V(a_{i})=V(Pi a_{i})} .

Эквивалентно, можно начать с открытых множеств и определить

D ( a ) = { p ∈ Proj S ∣ a ⊈ p } . {displaystyle D(a)={pin operatorname {Proj} ,Smid a; ot subseteq ;p}.}

Стандартное сокращение состоит в том, чтобы обозначать D(Sf) как D(f), где Sf — это идеал, порождённый f. Для любого a, D(a) и V(a) очевидным образом дополнительны и приведённое выше доказательство показывает, что D(a) образуют топологию на Proj S. Преимущество этого подхода в том, что D(f), где f пробегает все однородные элементы S, образуют базис этой топологии, что является необходимым инструментом для изучения Proj S, аналогично случаю спектров клоец.

Proj как схема

Мы также строим пучок на Proj S, называемый структурным пучком, который превращает его в схему. Как и в случае конструкции Spec существует несколько способов это сделать: наиболее прямой из них, который также напоминает конструкцию регулярных функций на проективном многообразии в классической алгебраической геометрии, состоит в следующем. Для любого открытого множества U в Proj S мы определяем кольцо O X ( U ) {displaystyle O_{X}(U)} как множество всех функций

f : U → ⋃ p ∈ U S ( p ) {displaystyle fcolon U o igcup _{pin U}S_{(p)}}

(где S ( p ) {displaystyle S_{(p)}} обозначает подкольцо локального кольца S p {displaystyle S_{p}} точки p {displaystyle p} , состоящее из частных однородных элементов одинаковой степени) таких, что для каждого простого идеала p в U:

  • f(p) является элементом S ( p ) {displaystyle S_{(p)}} ;
  • существует открытое подмножество V множества U, содержащее p, и однородные элементы s, t кольца S одинаковой степени, такие, что для каждого простого идеала q в V:
    • t не лежит в q;
    • f(q) = s/t.
  • Из определения немедленно следует, что O X ( U ) {displaystyle O_{X}(U)} образуют пучок колец O X {displaystyle O_{X}} на Proj S, и можно показать, что пара (Proj S, O X {displaystyle O_{X}} ) является схемой (при этом каждое подмножество D(f) является аффинной схемой).

    Пучок, ассоциированный с градуированным модулем

    Существенным свойством S в конструкции выше была возможность построения локализаций S ( p ) {displaystyle S_{(p)}} для каждого простого идеала p в S. Этим свойством также обладает любой градуированный модуль M над S, и, следовательно, конструкция из раздела выше с небольшими изменениями позволяет построить для такого M пучок O X {displaystyle O_{X}} -модулей на Proj S, обозначаемый M ~ {displaystyle { ilde {M}}} . По построению этот пучок является квазикогерентным. Если S порождается конечным числом элементов степени 1 (то есть является кольцом многочленов или его фактором), все квазикогерентные пучки на Proj S получаются из градуированных модулей с помощью этой конструкции. Соответствующий градуированный модуль не является единственным.

    Скручивающий пучок Серра

    Частный случай пучка, ассоциированного с градуированным модулем — это когда в качестве M мы берём само S с другой градуировкой: а именно, мы считаем элементами степени d модуля M элементы степени (d + 1) кольца S и обозначаем M = S(1). Мы получаем квазикогерентный пучок M ~ {displaystyle { ilde {M}}} на Proj S, обозначаемый O X ( 1 ) {displaystyle O_{X}(1)} или просто O(1) и называемый скручивающим пучком Серра. Можно проверить, что O(1) является обратимым пучком.

    Одна из причин полезности O(1) состоит в том, что он позволяет восстановить алгебраическую информацию об S, которая была потеряна в конструкции O X {displaystyle O_{X}} при переходе к частным степени 0. В случае Spec A для кольца A, глобальные сечения структурного пучка являются самим A, тогда как в нашем случае глобальные сечения пучка O X {displaystyle O_{X}} состоят из элементов S степени 0. Если мы определим

    O ( n ) = ⨂ i = 1 n O ( 1 ) {displaystyle O(n)=igotimes _{i=1}^{n}O(1)}

    то каждое O(n) содержит информацию степени n об S. Аналогично, для пучка O X {displaystyle O_{X}} -модулей N, ассоциированного с S-модулем M мы можем определить

    N ( n ) = N ⊗ O ( n ) {displaystyle N(n)=Notimes O(n)}

    и ожидать, что этот подкрученный пучок содержит потерянную информацию об M. Это позволяет предположить, хотя и неправильно, что S можно восстановить из этих пучков; это на самом деле верно, если S является кольцом многочленов, см. ниже.

    n-мерное проективное пространство

    Если A — кольцо, мы определяем n-мерное проективное пространство над A как схему

    P A n = Proj A [ x 0 , … , x n ] . {displaystyle mathbb {P} _{A}^{n}=operatorname {Proj} ,A[x_{0},ldots ,x_{n}].}

    Мы определяем градуировку на кольце S = A [ x 0 , … , x n ] {displaystyle S=A[x_{0},ldots ,x_{n}]} , полагая, что каждое x i {displaystyle x_{i}} имеет степень 1 и каждый элемент A имеет степень 0. Сопоставляя это с определением O(1), данным выше, мы видим, что сечения O(1) — это линейные однородные многочлены, порождаемые элементами x i {displaystyle x_{i}} .

    Примеры

    • Если мы возьмём как базовое кольцо A = C [ λ ] {displaystyle A=mathbb {C} [lambda ]} , то Proj ( A [ X , Y , Z ] / ( Z Y 2 − X ( X − Z ) ( X − λ Z ) ) ) {displaystyle { ext{Proj}}(A[X,Y,Z]/(ZY^{2}-X(X-Z)(X-lambda Z)))} имеет канонический проективный морфизм на аффинную прямую A λ 1 {displaystyle mathbb {A} _{lambda }^{1}} , слои которого являются эллиптическими кривыми, кроме слоёв над точками λ = 0 , 1 {displaystyle lambda =0,1} , над которыми слои вырождаются в нодальные кривые.
    • Проективная гиперповерхность Proj ( C [ X 0 , … , X 4 ] / ( X 0 5 + ⋯ X 4 5 ) ) {displaystyle { ext{Proj}}left(mathbb {C} [X_{0},ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+cdots X_{4}^{5}) ight)} является примером трёхмерной квинтики Ферма, которая также является многообразием Калаби — Яу.
    • Если мы рассмотрим тривиальную градуировку на A {displaystyle A} , то есть A 0 = A {displaystyle A_{0}=A} и A i = 0 {displaystyle A_{i}=0} для i ≠ 0 {displaystyle i eq 0} , то Proj ( A ) = Spec ( A ) {displaystyle { ext{Proj}}(A)={ ext{Spec}}(A)} .
    • Взвешенные проективные пространства можно построить, используя кольца многочленов с нестандартными степенями переменных. Например, the взвешенное проективное пространство P ( 1 , 1 , 2 ) {displaystyle mathbb {P} (1,1,2)} соответствует взятию Proj {displaystyle { ext{Proj}}} кольца A [ X 0 , X 1 , X 2 ] {displaystyle A[X_{0},X_{1},X_{2}]} где X 0 , X 1 {displaystyle X_{0},X_{1}} имеют степень 1 {displaystyle 1} , тогда как X 2 {displaystyle X_{2}} имеет степень 2.
    • Биградуированное кольцо соответствует подсхеме произведения проективных пространств. Например, биградуированная алгебра C [ X 0 , X 1 , Y 0 , Y 1 ] {displaystyle mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]} , где X i {displaystyle X_{i}} имеют степень ( 1 , 0 ) {displaystyle (1,0)} и Y i {displaystyle Y_{i}} имеют степень ( 0 , 1 ) {displaystyle (0,1)} , соответствует P X 1 × P Y 1 {displaystyle mathbb {P} _{X}^{1} imes mathbb {P} _{Y}^{1}} .

    Похожие новости:

    Марковский момент времени

    Марковский момент времени
    Марковский момент времени (в теории случайных процессов) — это случайная величина, не зависящая от будущего рассматриваемого случайного процесса. Дискретный случай Пусть дана последовательность

    Эквивалентность категорий

    Эквивалентность категорий
    Эквивалентность категорий в теории категорий — отношение между категориями, показывающее, что две категории «по существу одинаковы». Установление эквивалентности свидетельствует о глубокой связи

    Размерность Хаусдорфа

    Размерность Хаусдорфа
    Размерность Хаусдорфа, или хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными

    Произведение Громова

    Произведение Громова
    Произведение Громова — расстояние, на котором две геодезические стартующих в одной точке начинают существенно расходиться. Названо в честь Громова. Произведение Громова используется, в частности
    Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

    Добавить комментарий!

    Ваше Имя:
    Ваш E-Mail:
    Введите два слова, показанных на изображении: *
    Популярные новости
    Мебель для офиса с экономией для бюджета
    Мебель для офиса с экономией для бюджета
    Часто ли наши желания совпадают с нашими возможностями? Часто ли то, что мы хотим приобрести, нам...
    Выбираем стол в малогабаритную кухню
    Выбираем стол в малогабаритную кухню
    Главный атрибут кухонного гарнитура – это обеденный стол, за которым собирается вся семья во время...
    Эхолот не оставит без улова
    Эхолот не оставит без улова
    В былые времена рыбалка для людей была одним из способов добыть себе и своей семье пропитание....
    Все новости