Шестиугольное число

Шестиугольное число — фигурное число. n-ое шестиугольное число — число точек в состоящем из них правильном шестиугольнике со стороной в n точек.

Формула для n-го шестиугольного числа:

h n = n ( 2 n − 1 ) {displaystyle h_{n}=n(2n-1)}

Последовательность шестиугольных чисел начинается так:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, …

Свойства

• Каждое шестиугольное число является треугольным числом, но лишь некоторые треугольные числа (первое, третье, пятое, седьмое и т. д.) являются шестиугольными. Как и треугольныe, шестиугольные числа делятся на 9 с остатком 0, 1, 3 или 6.

• Каждое чётное совершенное число (полученное по формуле M p 2 p − 1 = M p ( M p + 1 ) / 2 = h ( M p + 1 ) / 2 {displaystyle M_{p}2^{p-1}=M_{p}(M_{p}+1)/2=h_{(M_{p}+1)/2}} , где Mp — простое число Мерсенна) является шестиугольным. Так как ни одно нечетное совершенное число до сих пор не найдено, все известные совершенные числа — шестиугольные.

• n-ое шестиугольное число можно записать в виде суммы: h n = ∑ i = 0 n − 1 ( 4 i + 1 ) {displaystyle h_{n}=sum _{i=0}^{n-1}{(4i+1)}}

Проверка на шестиугольность

Проверить, является ли натуральное число x шестиугольным, можно с помощью вычисления

n = 8 x + 1 + 1 4 . {displaystyle n={frac {{sqrt {8x+1}}+1}{4}}.}

Если n целое, то x является n-м шестиугольным числом. Если n не целое, то x шестиугольным не является.