13.11.2020

Тринадцатая проблема Гильберта


Тринадцатая проблема Гильберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она была мотивирована применением методов номографии к вычислению корней уравнений высоких степеней, и касалась представимости функций нескольких переменных, в частности, решения уравнения седьмой степени как функции от коэффициентов, в виде суперпозиции нескольких непрерывных функций двух переменных.

Проблема была решена В. И. Арнольдом совместно с А. Н. Колмогоровым, доказавшими, что любая непрерывная функция любого количества переменных представляется в виде суперпозиции непрерывных функций одной и двух переменных (и, более того, что в таком представлении можно обойтись, в дополнение к непрерывным функциям одной переменной, единственной функцией двух переменных — сложением):

f ( x 1 , … , x n ) = ∑ q = 0 2 n Φ q ( ∑ p = 1 n ψ q , p ( x p ) ) . {displaystyle f(x_{1},dots ,x_{n})=sum _{q=0}^{2n}Phi _{q}left(sum _{p=1}^{n}psi _{q,p}(x_{p}) ight).}

Функций Φ q {displaystyle Phi _{q}} и ψ q , p {displaystyle psi _{q,p}} , не считая нулевых, требуется не более ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) {displaystyle (n+1)(2n+1)} штук, в частности, для двух переменных — не более 15, для трех — не более 28.

Постановка проблемы

Уравнения степеней до четвёртой включительно разрешимы в радикалах: для их решений существуют явные формулы (формула Кардано и метод Феррари для уравнений третьей и четвёртой степени соответственно). Для уравнений степеней, начиная с пятой, их неразрешимость в радикалах утверждается теоремой Абеля — Руффини. Однако преобразования Чирнгауза позволяют свести общее уравнение степени n>4 к виду, свободному от коэффициентов при x n − 1 {displaystyle x^{n-1}} , x n − 2 {displaystyle x^{n-2}} и x n − 3 {displaystyle x^{n-3}} ; для n=5 этот результат был получен Брингом в 1786, и для общего случая Джерардом в 1834.. Тем самым (после дополнительной перенормировки), решение уравнений степеней 5, 6 и 7 сводилось к решению уравнений вида

x 5 + a x + 1 = 0 {displaystyle x^{5}+ax+1=0} , x 6 + a x 2 + b x + 1 = 0 , {displaystyle x^{6}+ax^{2}+bx+1=0,} x 7 + a x 3 + b x 2 + c x + 1 = 0 {displaystyle x^{7}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0}

зависящих от одного, двух и трех параметров соответственно.

Непредставимость с сохранением класса гладкости

Решение: теоремы Колмогорова и Арнольда


Похожие новости:

Дифференциальная теория Галуа

Дифференциальная теория Галуа
Дифференциальная теория Галуа — раздел математики, который изучает группы Галуа дифференциальных уравнений. Предпосылки и основная идея В 1830-х годах Лиувилль создал теорию интегрирования в

Теория линейных стационарных систем

Теория линейных стационарных систем
Теория линейных стационарных систем — раздел теории динамических систем, изучающий поведение и динамические свойства линейных стационарных систем (ЛСС). Используется для изучения процессов управления

Сигнатура (линейная алгебра)

Сигнатура (линейная алгебра)
Сигнатура — числовая характеристика квадратичной формы или псевдоевклидова пространства, в котором скалярное произведение задано с помощью соответствующей квадратичной формы. Определение Каждая

Операторный метод расчёта переходных процессов

Операторный метод расчёта переходных процессов
Операторный метод — это метод расчёта переходных процессов в электрических цепях, основанный на переносе расчёта переходного процесса из области функций действительной переменной (времени t) в
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Недорогие печи Лиговъ - качественная российская продукция
Недорогие печи Лиговъ - качественная российская продукция
Оснащенные «подовым горением» печи-камины стала выпускать компания «Лиговъ». От «колосниковых»...
Камины Астов (Astov) - российская продукция премиум-класса
Камины Астов (Astov) - российская продукция премиум-класса
Камины устанавливаются в загородных домах и квартирах все чаще. Ассоциации они вызывают обычно...
Что стоит принять во внимание прежде, чем вступить в СРО строителей
Что стоит принять во внимание прежде, чем вступить в СРО строителей
Вступление в СРО строителей в наше время – дело необходимое. Членство поможет повысить качество...
Виды окон ПВХ и их преимущества
Виды окон ПВХ и их преимущества
В конце девяностых годов прошлого века в нашей стране появились пластиковые окна. Они сразу же...
Особенности проведения отделки балкона
Особенности проведения отделки балкона
Балкон — это особое пространство квартиры, которое отличается небольшими квадратными метрами и...
Что такое предпроектная документация и для чего она нужна
Что такое предпроектная документация и для чего она нужна
Прединвестиционная стадия характеризуется возможностью создания конечного результата. Это не...
Особенности мобильных офисных перегородок. Основы правильной организации рабочего пространства
Особенности мобильных офисных перегородок. Основы правильной организации рабочего пространства
Мобильные офисные перегородки — это современные решения, помогающие быстро и эффективно зонировать...
Все новости