Тринадцатая проблема Гильберта

Тринадцатая проблема Гильберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она была мотивирована применением методов номографии к вычислению корней уравнений высоких степеней, и касалась представимости функций нескольких переменных, в частности, решения уравнения седьмой степени как функции от коэффициентов, в виде суперпозиции нескольких непрерывных функций двух переменных.

Проблема была решена В. И. Арнольдом совместно с А. Н. Колмогоровым, доказавшими, что любая непрерывная функция любого количества переменных представляется в виде суперпозиции непрерывных функций одной и двух переменных (и, более того, что в таком представлении можно обойтись, в дополнение к непрерывным функциям одной переменной, единственной функцией двух переменных — сложением):

f ( x 1 , … , x n ) = ∑ q = 0 2 n Φ q ( ∑ p = 1 n ψ q , p ( x p ) ) . {displaystyle f(x_{1},dots ,x_{n})=sum _{q=0}^{2n}Phi _{q}left(sum _{p=1}^{n}psi _{q,p}(x_{p}) ight).}

Функций Φ q {displaystyle Phi _{q}} и ψ q , p {displaystyle psi _{q,p}} , не считая нулевых, требуется не более ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) {displaystyle (n+1)(2n+1)} штук, в частности, для двух переменных — не более 15, для трех — не более 28.

Постановка проблемы

Уравнения степеней до четвёртой включительно разрешимы в радикалах: для их решений существуют явные формулы (формула Кардано и метод Феррари для уравнений третьей и четвёртой степени соответственно). Для уравнений степеней, начиная с пятой, их неразрешимость в радикалах утверждается теоремой Абеля — Руффини. Однако преобразования Чирнгауза позволяют свести общее уравнение степени n>4 к виду, свободному от коэффициентов при x n − 1 {displaystyle x^{n-1}} , x n − 2 {displaystyle x^{n-2}} и x n − 3 {displaystyle x^{n-3}} ; для n=5 этот результат был получен Брингом в 1786, и для общего случая Джерардом в 1834.. Тем самым (после дополнительной перенормировки), решение уравнений степеней 5, 6 и 7 сводилось к решению уравнений вида

x 5 + a x + 1 = 0 {displaystyle x^{5}+ax+1=0} , x 6 + a x 2 + b x + 1 = 0 , {displaystyle x^{6}+ax^{2}+bx+1=0,} x 7 + a x 3 + b x 2 + c x + 1 = 0 {displaystyle x^{7}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0}

зависящих от одного, двух и трех параметров соответственно.

Непредставимость с сохранением класса гладкости

Решение: теоремы Колмогорова и Арнольда