12.11.2020

Натуральный логарифм 2


Натуральный логарифм 2 в десятичной системе счисления (последовательность A002162 в OEIS) равен приблизительно

ln ⁡ 2 ≈ 0,693 147 180 56 , {displaystyle ln 2approx 0{,}693,147,180,56,}

как показывает первая строка в таблице ниже. Логарифм числа 2 с другим основанием (b) можно вычислить из соотношения

log b ⁡ 2 = ln ⁡ 2 ln ⁡ b . {displaystyle log _{b}2={frac {ln 2}{ln b}}.}

Десятичный логарифм числа 2 (A007524) приблизительно равен

log 10 ⁡ 2 ≈ 0,301 029 995 663 981 195. {displaystyle log _{10}2approx 0{,}301,029,995,663,981,195.}

Обратное число к данному представляет собой двоичный логарифм 10:

log 2 ⁡ 10 = 1 log 10 ⁡ 2 ≈ 3,321 928 095 {displaystyle log _{2}10={frac {1}{log _{10}2}}approx 3{,}321,928,095} (A020862).

По теореме Линдемана — Вейерштрасса натуральный логарифм любого натурального числа, отличного от 0 и 1 (в общем случае, для любого положительного алгебраического числа, кроме 1), является трансцендентным числом.

Неизвестно, является ли ln 2 нормальным числом.

Представление в виде рядов

∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n = ln ⁡ 2. {displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n+1}}{n}}=ln 2.} (Ряд Меркатора) ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) = ln ⁡ 2. {displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=ln 2.} ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 2 ln ⁡ 2 − 1. {displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)}}=2ln 2-1.} ∑ n = 1 ∞ 1 n ( 4 n 2 − 1 ) = 2 ln ⁡ 2 − 1. {displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2ln 2-1.} ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n ( 4 n 2 − 1 ) = ln ⁡ 2 − 1. {displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=ln 2-1.} ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n ( 9 n 2 − 1 ) = 2 ln ⁡ 2 − 3 2 . {displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2ln 2-{ frac {3}{2}}.} ∑ n = 2 ∞ 1 2 n [ ζ ( n ) − 1 ] = ln ⁡ 2 − 1 2 . {displaystyle sum _{n=2}^{infty }{frac {1}{2^{n}}}[zeta (n)-1]=ln 2-{ frac {1}{2}}.} ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 [ ζ ( n ) − 1 ] = 1 − γ − ln ⁡ 2 2 . {displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{2n+1}}[zeta (n)-1]=1-gamma -{frac {ln 2}{2}}.} ∑ n = 1 ∞ 1 2 2 n ( 2 n + 1 ) ζ ( 2 n ) = 1 − ln ⁡ 2 2 . {displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{2^{2n}(2n+1)}}zeta (2n)={frac {1-ln 2}{2}}.} ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n . {displaystyle ln 2=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{2^{n}n}}.} ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ ( 1 3 n + 1 4 n ) 1 n . {displaystyle ln 2=sum _{n=1}^{infty }left({frac {1}{3^{n}}}+{frac {1}{4^{n}}} ight){frac {1}{n}}.} ln ⁡ 2 = 2 3 + 1 2 ∑ k ≥ 1 ( 1 2 k + 1 4 k + 1 + 1 8 k + 4 + 1 16 k + 12 ) 1 16 k . {displaystyle ln 2={frac {2}{3}}+{frac {1}{2}}sum _{kgeq 1}left({frac {1}{2k}}+{frac {1}{4k+1}}+{frac {1}{8k+4}}+{frac {1}{16k+12}} ight){frac {1}{16^{k}}}.} ln ⁡ 2 = 2 3 ∑ k ≥ 0 1 9 k ( 2 k + 1 ) . {displaystyle ln 2={frac {2}{3}}sum _{kgeq 0}{frac {1}{9^{k}(2k+1)}}.} ln ⁡ 2 = ∑ k ≥ 0 ( 14 31 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) + 6 161 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) + 10 49 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ) . {displaystyle ln 2=sum _{kgeq 0}left({frac {14}{31^{2k+1}(2k+1)}}+{frac {6}{161^{2k+1}(2k+1)}}+{frac {10}{49^{2k+1}(2k+1)}} ight).} ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 4 n 2 − 2 n . {displaystyle ln 2=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{4n^{2}-2n}}.} ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ 2 ( − 1 ) n + 1 ( 2 n − 1 ) + 1 8 n 2 − 4 n . {displaystyle ln 2=sum _{n=1}^{infty }{frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}.}

(здесь через γ обозначена постоянная Эйлера — Маскерони, ζ — дзета-функция Римана).

Иногда к данной категории формул относят формулу Бэйли — Боруэйна — Плаффа:

ln ⁡ 2 = 1 2 + 1 2 ⋅ 2 2 + 1 3 ⋅ 2 3 + 1 4 ⋅ 2 4 + 1 5 ⋅ 2 5 + ⋯ = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k ⋅ k = 1 2 ∑ k = 0 ∞ [ 1 2 k ( 1 k + 1 ) ] = 1 2 P ( 1 , 2 , 1 , ( 1 ) ) . {displaystyle {egin{aligned}ln 2&={frac {1}{2}}+{frac {1}{2cdot 2^{2}}}+{frac {1}{3cdot 2^{3}}}+{frac {1}{4cdot 2^{4}}}+{frac {1}{5cdot 2^{5}}}+cdots &=sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{2^{k}cdot k}}={frac {1}{2}}sum _{k=0}^{infty }left[{frac {1}{2^{k}}}left({frac {1}{k+1}} ight) ight]&={frac {1}{2}}P{ig (}1,2,1,(1){ig )}.end{aligned}}}

Представление в виде интегралов

∫ 0 1 d x 1 + x = ln ⁡ 2 ,  или, равносильно,  ∫ 1 2 d x x = ln ⁡ 2. {displaystyle int _{0}^{1}{frac {dx}{1+x}}=ln 2,{ ext{ или, равносильно, }}int _{1}^{2}{frac {dx}{x}}=ln 2.} ∫ 1 ∞ d x ( 1 + x 2 ) ( 1 + x ) 2 = 1 − ln ⁡ 2 4 . {displaystyle int _{1}^{infty }{frac {dx}{(1+x^{2})(1+x)^{2}}}={frac {1-ln 2}{4}}.} ∫ 0 ∞ d x 1 + e n x = ln ⁡ 2 n ; ∫ 0 ∞ d x 3 + e n x = 2 ln ⁡ 2 3 n . {displaystyle int _{0}^{infty }{frac {dx}{1+e^{nx}}}={frac {ln 2}{n}};int _{0}^{infty }{frac {dx}{3+e^{nx}}}={frac {2ln 2}{3n}}.} ∫ 0 ∞ 1 e x − 1 − 2 e 2 x − 1 d x = ln ⁡ 2. {displaystyle int _{0}^{infty }{frac {1}{e^{x}-1}}-{frac {2}{e^{2x}-1}},dx=ln 2.} ∫ 0 ∞ e − x 1 − e − x x d x = ln ⁡ 2. {displaystyle int _{0}^{infty }e^{-x}{frac {1-e^{-x}}{x}},dx=ln 2.} ∫ 0 1 ln ⁡ ( x 2 − 1 x ln ⁡ x ) d x = − 1 + ln ⁡ 2 + γ . {displaystyle int _{0}^{1}ln left({frac {x^{2}-1}{xln x}} ight)dx=-1+ln 2+gamma .} ∫ 0 π 3 tg ⁡ x d x = 2 ∫ 0 π 4 tg ⁡ x d x = ln ⁡ 2. {displaystyle int _{0}^{frac {pi }{3}}operatorname {tg} x,dx=2int _{0}^{frac {pi }{4}}operatorname {tg} x,dx=ln 2.} ∫ − π 4 π 4 ln ⁡ ( sin ⁡ x + cos ⁡ x ) d x = − π ln ⁡ 2 4 . {displaystyle int _{-{frac {pi }{4}}}^{frac {pi }{4}}ln left(sin x+cos x ight),dx=-{frac {pi ln 2}{4}}.} ∫ 0 1 x 2 ln ⁡ ( 1 + x ) d x = 2 ln ⁡ 2 3 − 5 18 . {displaystyle int _{0}^{1}x^{2}ln(1+x),dx={frac {2ln 2}{3}}-{frac {5}{18}}.} ∫ 0 1 x ln ⁡ ( 1 + x ) ln ⁡ ( 1 − x ) d x = 1 4 − ln ⁡ 2. {displaystyle int _{0}^{1}xln(1+x)ln(1-x),dx={ frac {1}{4}}-ln 2.} ∫ 0 1 x 3 ln ⁡ ( 1 + x ) ln ⁡ ( 1 − x ) d x = 13 96 − 2 ln ⁡ 2 3 . {displaystyle int _{0}^{1}x^{3}ln(1+x)ln(1-x),dx={ frac {13}{96}}-{frac {2ln 2}{3}}.} ∫ 0 1 ln ⁡ x ( 1 + x ) 2 d x = − ln ⁡ 2. {displaystyle int _{0}^{1}{frac {ln x}{(1+x)^{2}}},dx=-ln 2.} ∫ 0 1 ln ⁡ ( 1 + x ) − x x 2 d x = 1 − 2 ln ⁡ 2. {displaystyle int _{0}^{1}{frac {ln(1+x)-x}{x^{2}}},dx=1-2ln 2.} ∫ 0 1 d x x ( 1 − ln ⁡ x ) ( 1 − 2 ln ⁡ x ) = ln ⁡ 2. {displaystyle int _{0}^{1}{frac {dx}{x(1-ln x)(1-2ln x)}}=ln 2.} ∫ 1 ∞ ln ⁡ ( ln ⁡ x ) x 3 d x = − γ + ln ⁡ 2 2 . {displaystyle int _{1}^{infty }{frac {ln left(ln x ight)}{x^{3}}},dx=-{frac {gamma +ln 2}{2}}.}


Другие формы представления числа

Разложение Пирса имеет вид (A091846)

ln ⁡ 2 = 1 − 1 1 ⋅ 3 + 1 1 ⋅ 3 ⋅ 12 − ⋯ . {displaystyle ln 2=1-{frac {1}{1cdot 3}}+{frac {1}{1cdot 3cdot 12}}-cdots .}

Разложение Энгеля (A059180):

ln ⁡ 2 = 1 2 + 1 2 ⋅ 3 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 7 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 9 + ⋯ . {displaystyle ln 2={frac {1}{2}}+{frac {1}{2cdot 3}}+{frac {1}{2cdot 3cdot 7}}+{frac {1}{2cdot 3cdot 7cdot 9}}+cdots .}

Разложение в виде котангенсов имеет вид A081785

ln ⁡ 2 = ctg ⁡ ( arcctg ⁡ 0 − arcctg ⁡ 1 + arcctg ⁡ 5 − arcctg ⁡ 55 + arcctg ⁡ 14187 − ⋯ ) . {displaystyle ln 2=operatorname {ctg} ({operatorname {arcctg} 0-operatorname {arcctg} 1+operatorname {arcctg} 5-operatorname {arcctg} 55+operatorname {arcctg} 14187-cdots }).}

Представление в виде бесконечной суммы дробей (знакопеременный гармонический ряд):

ln ⁡ 2 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ . {displaystyle ln 2=1-{ frac {1}{2}}+{ frac {1}{3}}-{ frac {1}{4}}+{ frac {1}{5}}-cdots .}

Также можно представить натуральный логарифм 2 в виде разложения в ряд Тейлора:

ln ⁡ 2 = 1 2 + 1 12 + 1 30 + 1 56 + 1 90 + ⋯ { extstyle quad ln 2={ frac {1}{2}}+{ frac {1}{12}}+{ frac {1}{30}}+{ frac {1}{56}}+{ frac {1}{90}}+cdots }

Представление в виде обобщённой непрерывной дроби:

ln ⁡ 2 = 1 1 + 1 2 + 1 3 + 2 2 + 2 5 + 3 2 + 3 7 + 4 2 + ⋱ = 2 3 − 1 2 9 − 2 2 15 − 3 2 21 − ⋱ {displaystyle ln 2={cfrac {1}{1+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{3+{cfrac {2}{2+{cfrac {2}{5+{cfrac {3}{2+{cfrac {3}{7+{cfrac {4}{2+ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={cfrac {2}{3-{cfrac {1^{2}}{9-{cfrac {2^{2}}{15-{cfrac {3^{2}}{21-ddots }}}}}}}}}

Вычисление других логарифмов

Если известно значение ln 2, то для вычисления логарифмов других натуральных чисел можно табулировать логарифмы простых чисел, а логарифмы смешанных чисел c затем определять исходя из разложения на простые множители:

c = 2 i 3 j 5 k 7 l ⋯ → ln ⁡ c = i ln ⁡ 2 + j ln ⁡ 3 + k ln ⁡ 5 + l ln ⁡ 7 + ⋯ {displaystyle c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}cdots ightarrow ln c=iln 2+jln 3+kln 5+lln 7+cdots }

В таблице представлены логарифмы некоторых простых чисел.

На третьем шаге логарифмы рациональных чисел r = a/b вычисляются как ln r = ln a − ln b, логарифмы корней: ln nc = 1/n ln c.

Логарифм 2 полезен в том смысле, что степени 2 распределены достаточно плотно: определение степени 2i, близкой к степени bj другого числа b сравнительно несложно.


Похожие новости:

Дифференциальная теория Галуа

Дифференциальная теория Галуа
Дифференциальная теория Галуа — раздел математики, который изучает группы Галуа дифференциальных уравнений. Предпосылки и основная идея В 1830-х годах Лиувилль создал теорию интегрирования в

Минимальная поверхность Бура

Минимальная поверхность Бура
Минимальная поверхность Бура — это двухмерная минимальная поверхность, вложенная с самопересечениями в трёхмерное евклидово пространство. Поверхность названа именем Эдмонда Бура, работа которого о

Список интегралов элементарных функций

Список интегралов элементарных функций
Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе. В отличие от операции дифференцирования, интеграл от элементарной функции может не быть элементарной функцией. Например,

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии
Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит: Из этого следует, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Плитка azori для ванной комнаты
Плитка azori для ванной комнаты
Основным брендом, который выбирают потребители в виде керамической плитки является azori. Его...
Обшивка железной лестницы деревом
Обшивка железной лестницы деревом
Лестница из металла считается самой прочной и надежной конструкцией, однако внешний вид...
Пластиковые окна от компании "Алиас-Днепр": достойное качество по доступной стоимости
Пластиковые окна от компании "Алиас-Днепр": достойное качество по доступной стоимости
ПВХ окна — это достойная альтернатива деревянному советскому профилю С их помощью можно создать...
Open Space офис – что это такое? Концепция открытого офиса, его преимущества и мебель для него
Open Space офис – что это такое? Концепция открытого офиса, его преимущества и мебель для него
Open Space в переводе с англ. – открытое пространство. Сотрудники офисов с такой концепцией имеют...
Про правила строительства дома
Про правила строительства дома
Свой собственный дом для многих роскошь, которую можно позволить себе только с течением...
Тонкости разработки дизайн-проекта квартиры
Тонкости разработки дизайн-проекта квартиры
Все, кто однажды задавался вопросом, как сделать ремонт, упираются в проблему разработки...
Варианты остекления беседок
Варианты остекления беседок
Открытые веранды или беседки изначально планируют большинство людей, однако осенью они решают...
Все новости