12.11.2020

Эквивалентность категорий


Эквивалентность категорий в теории категорий — отношение между категориями, показывающее, что две категории «по существу одинаковы». Установление эквивалентности свидетельствует о глубокой связи соответствующих математических концепций и позволяет «переносить» теоремы с одних структур на другие.

Определение

Для двух категорий C и D задана их эквивалентность, если задан функтор F : CD, функтор G : DC, и два естественных изоморфизма ε: FGID и η : ICGF. Здесь IC: CC и ID: DDтождественные функторы на C и D соответственно. Если F и G — контравариантные функторы, это определяет двойственность категорий.

Эквивалентные формулировки

Можно показать, что функтор F : CD задаёт эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда он:

  • вполне унивалентен и
  • плотен, то есть в классе изоморфизма любого элемента d категории D существует объект, имеющий прообраз в C под действием F.

Это — наиболее часто применяемый критерий, так как он не требует явно сконструировать «обратный» функтор и два естественных преобразования. С другой стороны, хотя приведенное выше свойство гарантирует существование эквивалентности, часть данных теряется, так как иногда эквивалентность можно провести разными способами. Поэтому функтор F с такими свойствами иногда называют слабой эквивалентностью категорий.

Ещё одна формулировка использует понятие сопряжённых функторов: F и G задают эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда они оба вполне унивалентные и являются сопряжёнными.

Примеры

  • Между категорией C {displaystyle C} из одного объекта c {displaystyle c} и одного морфизма 1 c {displaystyle 1_{c}} и категорией D {displaystyle D} из двух объектов d 1 {displaystyle d_{1}} , d 2 {displaystyle d_{2}} и четырёх морфизмов: двух тождественных 1 d 1 {displaystyle 1_{d_{1}}} , 1 d 2 {displaystyle 1_{d_{2}}} и двух изоморфизма α : d 1 → d 2 {displaystyle alpha colon d_{1} o d_{2}} , β : d 2 → d 1 {displaystyle eta colon d_{2} o d_{1}} можно установить эквивалентность, например взять F {displaystyle F} , отправляющий c {displaystyle c} в d 1 {displaystyle d_{1}} и G {displaystyle G} , отправляющий всё D {displaystyle D} в c {displaystyle c} . Однако, например, категория C {displaystyle C} не эквивалентна категории из двух объектов и двух тождественных морфизмов.
  • Пусть категория C {displaystyle C} состоит из одного объекта c {displaystyle c} и двух морфизмов 1 c , f : c → c {displaystyle 1_{c},fcolon c o c} , где f ∘ f = 1 {displaystyle fcirc f=1} . Тогда f {displaystyle f} задаёт естественный изоморфизм I C {displaystyle mathbf {I} _{C}} с собой (нетривиальный, так как он действует на морфизмах не тождественным образом).
  • Эквивалентны категория C {displaystyle C} конечномерных действительных векторных пространств и категория D = M a t ( R ) {displaystyle D=mathrm {Mat} (mathbb {R} )} (объекты — натуральные числа, морфизмы — матрицы соответствующей размерности): функтор F : C → D {displaystyle Fcolon C o D} сопоставляет векторному пространству его размерность (что соответствует выбору в каждом пространстве базиса).
  • Одна из центральных тем алгебраической геометрии — двойственность категорий аффинных схем и коммутативных колец. Соответствующий функтор отправляет кольцо в его спектр — схему, образованную простыми идеалами.

Свойства

При эквивалентности категорий сохраняются все «категорные» свойства: например, свойство быть начальным объектом, мономорфизмом, пределом или свойство категории быть топосом.

Если F : CD — эквивалентность категорий и G1, G2 «обратные» к F, то G1 и G2 естественно изоморфны.


Похожие новости:

Сивко, Сергей Александрович

Сивко, Сергей Александрович
Сергей Александрович Сивко (7 июня 1940, Тула — 10 ноября 1966, Москва) — советский боксёр лёгких весовых категорий, выступал за сборную СССР во второй половине 1950-х — первой половине 1960-х годов.

Димитров, Елиан

Димитров, Елиан
Елиан Веселинов Димитров (болг. Елиан Веселинов Димитров; род. 2 июня 1991, Бургас) — болгарский боксёр, представитель легчайшей и лёгкой весовых категорий. Выступал за сборную Болгарии по боксу на

Помощь психолога в выборе профессии

Помощь психолога в выборе профессии
Существует несколько основных категорий людей, которые обращаются за помощью к психологу при выборе подходящей профессии.

Виды трубопроводной арматуры

Виды трубопроводной арматуры
Сегодня существует большое количество разнообразных категорий трубопроводной арматуры, так что быстро разобраться что к чему вряд ли удастся. Однако если вникнуть в принципы классификации подобных
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Порядок уточнения границ земельного участка в 2021 году
Порядок уточнения границ земельного участка в 2021 году
Определение границ земельного участка необходимо для закрепления координат в Едином государственном...
Почему следует выбрать ковролин в качестве основного напольного покрытия?
Почему следует выбрать ковролин в качестве основного напольного покрытия?
Для того чтобы обустроить свой дом, офис или торговый зал, а также сделать его комфортным,...
Как купить квартиру в Уфе: полезные рекомендации
Как купить квартиру в Уфе: полезные рекомендации
Покупка квартиры в другом городе – всегда непростой процесс. Особенно, если речь идет о столице...
Все новости