11.11.2020

Теорема Борсука — Улама


Теорема Борсука — Улама — классическая теорема алгебраической топологии, утверждающая, что всякая непрерывная функция, отображающая n {displaystyle n} -мерную сферу в n {displaystyle n} -мерное евклидово пространство для некоторой пары диаметрально противоположных точек имеет общее значение. Неформально утверждение известно как «теорема о температуре и давлении»: в любой момент времени на поверхности Земли найдутся антиподальные точки с равной температурой и равным давлением; одномерный случай обычно иллюстрируют двумя диаметрально противоположными точками экватора с равной температурой.

Впервые утверждение встречается у Люстерника и Шнирельмана в работе 1930 года; первое доказательство опубликовано в 1933 году Борсуком, который сослался на Улама как автора формулировки.

Формулировка

Для непрерывной функции f : S n → R n {displaystyle fcolon mathbb {S} ^{n} o mathbb {R} ^{n}} , где S n {displaystyle mathbb {S} ^{n}} — сфера в ( n + 1 ) {displaystyle (n+1)} -мерном евклидовом пространстве, существуют такие две диаметрально противоположные точки a , − a ∈ S n {displaystyle a,-ain mathbb {S} ^{n}} , что f ( a ) = f ( − a ) {displaystyle f(a)=f(-a)} .

Вариации и обобщения

  • Эквивалентное утверждение — теорема об общем нуле: всякая нечётная (относительно диаметральной противоположности) непрерывная функция g : S n → R n {displaystyle gcolon mathbb {S} ^{n} o mathbb {R} ^{n}} из n {displaystyle n} -мерной сферы в n {displaystyle n} -мерное евклидово пространство в одной из точек a ∈ S n {displaystyle ain mathbb {S} ^{n}} обращается в нуль: g ( a ) = 0 {displaystyle g(a)=0} . Эквивалентность устанавливается введением для непрерывной функции f : S n → R n {displaystyle fcolon mathbb {S} ^{n} o mathbb {R} ^{n}} нечётной функции g ( x ) = f ( x ) − f ( − x ) {displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)} . В одномерном случае теорема об общем нуле непосредственно следует из теоремы о промежуточном значении; общее доказательство использует изоморфизм Гуревича (алгебраико-топологический вариант), либо выводится из леммы Такера (комбинаторный вариант; лемма Такера при этом считается комбинаторным аналогом теоремы Борсука — Улама).
  • В 1954 году Абрам Ильич Фетом результат обобщен: утверждение теоремы имеет место не только для соотношения антиподов, но и для произвольной инволюции n {displaystyle n} -мерной сферы, то есть, для всякой инволюции ∗ : S n → S n {displaystyle ^{*}colon mathbb {S} ^{n} o mathbb {S} ^{n}} и любой непрерывной функции f : S n → R n {displaystyle fcolon mathbb {S} ^{n} o mathbb {R} ^{n}} найдётся такая точка a ∈ S n {displaystyle ain mathbb {S} ^{n}} , что f ( a ) = f ( a ∗ ) {displaystyle f(a)=f(a^{*})} .

Похожие новости:

Дифференциальная теория Галуа

Дифференциальная теория Галуа
Дифференциальная теория Галуа — раздел математики, который изучает группы Галуа дифференциальных уравнений. Предпосылки и основная идея В 1830-х годах Лиувилль создал теорию интегрирования в

Теоремы запрета

Теоремы запрета
В теоретической физике теоремы запрета — это группа теорем, утверждающих о физической невозможности какой-то конкретной ситуации. В частности, этот термин описывает такие свойства квантовой механики,

Теорема о равнобедренном треугольнике

Теорема о равнобедренном треугольнике
Теорема о равнобедренном треугольнике — классическая теорема геометрии, утверждающая, что углы, противолежащие боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны. Эта теорема появляется как

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии
Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит: Из этого следует, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые
Комментариев пока еще нет. Вы можете стать первым!

Добавить комментарий!

Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *
Популярные новости
Как обустроиться в однокомнатной квартире?
Как обустроиться в однокомнатной квартире?
Далеко не каждый проживает в большом доме или многокомнатной квартире. Как же обустроить интерьер...
Что нужно знать о поверке счетчиков
Что нужно знать о поверке счетчиков
Поверка счетчиков воды, газа и света является обязательной процедурой, которую, в соответствии с...
Гидроизоляция: виды и используемые материалы
Гидроизоляция: виды и используемые материалы
Гидроизоляция позволяет создать непроницаемый слой. Он нужен для защиты конструкции от любых...
Плей Фортуна - играем в азартные слоты онлайн
Плей Фортуна - играем в азартные слоты онлайн
Зачем тратить время на посещение реальных игорных заведений, когда под рукой всегда есть их...
Виртуальное Азино777 - бонусы, слоты, азарт
Виртуальное Азино777 - бонусы, слоты, азарт
Виртуальные игровые площадки привлекают любителей игровых автоматов доступностью и внушительным...
Особенности листового металла
Особенности листового металла
Металлопрокат — это различные профили и расходники, которые используются в строительстве и при...
Плитка azori для ванной комнаты
Плитка azori для ванной комнаты
Основным брендом, который выбирают потребители в виде керамической плитки является azori. Его...
Все новости